数学课堂中“懂而不会”现象的再透析
《中学数学教学参考》2012年第10期刊登的《数学学习中的“懂而不会”现象》一文对学生学习过程中“懂而不会”现象进行了分析，同时也提出了解决的策略。本文从课堂学习中学生的学习表现出发，进一步探讨“懂而不会”现象的缘由及教学中应注重的方面。
首先我们要明确学习中学生“懂而不会”所指的内容，这里的懂是指什么东西懂了，不会是指哪方面的内容不会。事实上，学生认为的懂，和教师要求的会、懂内涵是不一致的，就像文中所说的学生对懂某个知识大多是表象的，是看懂这样操作的，或者是可以这样解答问题的，而不会的是对问题本质的理解，为什么要这样做，为什么可以这样做。正因为“懂而不会”中的“懂”掺杂了这样一种错误的个人体验，于是对知识不会灵活运用就成为必然的表现。学好数学的第一步是弄懂，只有对知识的懂，才能会用知识，才能对学习进一步地深入。“懂”字好说，做到却不易。要对公式与法则的来龙去脉、概念的内涵外延及其“变式”(即等价表达形式)真正理解和掌握，这才叫“懂”。
一些学生常常反映“我上课时听得懂，可做作业时就是做不来”，这里有两个原因，一是听课时似乎懂了，其实并没有真懂，学生懂的可能只是知识性的记忆或者是对这个问题可以这样解，而不会思考为什么要这样解;二是从“懂”到“会”有一段路要走，要经历套用、变用和活用三个阶段。套用，指直接套用公式和法则，变用指在使用公式法则时有所变化;活用是在场景陌生甚至“恶劣”的情况下能执着地、顽强地、灵活地使用公式与法则。只有经历了这三个阶段，这才叫“会”。
一、“懂而不会”现象的透析
在数学学习中，学生“一看就会，一听就懂，但一做就错”“当堂会做，也比较熟练，但检测时又不会了”这些似懂非懂的现象比较普遍，常见表现如下:
1.懂思路，不会语言表达
在数学学习中相当一部分学生在课堂上能明白、看懂解题的过程，但真的让学生自己独立操作时，往往思绪很乱，不知所云。例如，在立体几何的学习中，学生知道证明点线面的关系需要转化，但具体转化哪个量，如何表述却困难重重。同样，对于教材上呈现的例题，绝大多数学生能看懂过程，但为什么这个步骤必须写那个步骤又需要说明很难理解。数学之所以难以自学，一个重要的原因是:撰写数学教材的人因追求“精炼”，而省却诸多细节或代以抽象的字母。于是，不懂者恒不懂，须由恒懂的懂者(教师)去指点或讲授才能让学生真正明白解题的要义是什么。只有讲清楚了，弄明白了，学生自己真正操作时才会有条理，才会知其所以然。
2.懂方法，不会抓本质学习
3.懂知识块，不会综合运用
在与学生的交流中，“懂而不会”更多地表现在对综合问题的处理。面对一个稍微复杂的问题学生不会寻找突破口，不会利用以往的解题经验去发现或试图转化为已学知识去解决。但如果将问题分解成几个小问题或几个知识块让学生逐个去解决往往能得到相应的结果。为什么综合起来或者换一种形式出现，学生对问题解决就摸不着头脑了，主要的思维节点在于缺乏变通的思想，不会将原问题化归为原有知识(或者已解决的问题)，不具备综合运用能力及探寻解题策略的能力。这方面的“懂且会”更需要时间的磨炼，更需要教师在授课中关注方法的介绍，特别是如何去分析问题，如何将综合问题化解为几个熟知的知识块进而各个击破达到学生“会用数学”的目的。
“懂而不会”现象的出现，一方面是学生只是满足于数学知识的表象学习，没有真正理解其要义和内涵，不会变通学习;另一方面也与教师课堂教学理念有关。有些教师为了赶教学进度，在学生对新知识的半知半解中提前进入大容量、高难度的演练，一些教师对教材的照本宣科或忽视概念、公式、定理的推导，一味追求例题、习题的新奇等教学行为，久而久之使学生习惯于知识的简单学习和机械记忆，面对灵活题目或者稍微有点新意的问题就“望题兴叹”“懂而不会”了。又如，在课堂教学中教师很喜欢对某个问题进行一题多解，似乎这样才能达到知识的灵活运用和让学生感受数学的魅力，但事实上学生似乎并不领情，除了对解题者投去更多的崇拜眼神外，留给自己的却是自卑和对数学的茫然。从心理原则看，教学应站在学生的立场，只有顺应学生的心理发展，才能满足他们的真实感。学生不产生任何真实感的素材，是没有教育价值的，课堂学习应是在学生体验下的归纳提升，神来之物的技巧解法，只能让人机械模仿，而没有心灵思维碰撞的感悟，只会是似懂非懂。
二、为理解而教，“既懂又会”学习的突破口
如何克服“懂而不会”的学习现象，笔者认为在课堂教学中教师要有为学生理解知识而教的思想。《普通高中数学课程标准(实验)》在教学建议中指出:教师应帮助学生理解和掌握数学的基础知识、基本技能。在评价建议中则指出:评价要注重对数学本质的理解和思想方法的把握，避免片面强调机械记忆、模仿以及复杂技巧。
数学理解就是指学生在已有数学知识和经验的基础上，建立新知识的个人心理表征，并不断完善和发展头脑中的数学知识网络，同时能将纳入知识网络中的新知识灵活地加以提取和应用。数学理解性学习主要涉及三个方面的工作:首先，必须将原始信息改造成适应个人认知结构特点、便于存入和提取的形式，因此建立的概念表象对自己越熟悉、越细致、越准确，就越记得住，也越容易提取;其次，新知识结点与其他结点的连线越多，该结点的入口就越多，经由这些通道进入该结点的机会也就增多;再次，在新旧知识的联系中，本质性的联系越多，准确性越强，这些联系就越紧密和牢固。这样在解决问题时激活的可能性就越大，回忆就会更方便、更迅速。
于新华和杨之先生在《数学理解的层次性及其教学意义》一文中将理解分为四个层次:(1)在数学学习中只会背诵定义和定理、模仿做题视为理解的零层次，是“不知其然”，在数学学习中大多表现为对数学茫然的“不懂不会”。(2)能重述定义、定理、公式、法则，知道概念的外延，能读懂公式的推导和定理的证明过程，解题时能模仿和套用例题的整个解答过程及符号的使用，知识是零散的，有木无林，缺乏系统性。属知识性层次，通常叫做初步理解。是“知其然”，是一听就懂，一做就错的“懂而不会”。(3)对知识能牢固记忆，对概念能分析其内涵、外延，对定理能分析内容结构，能写出完整的证明，能深入理解已有的证明，对知识能按逻辑顺序排成网络，有木有林。属能力性层次，通常叫做深刻理解。是“知其所以然”，在学习上表现为既懂又会。(4)了解定理、公式发现的大致过程以及相关的数学思想方法的脉络;对知识是结构性记忆;有运用合情推理的体验和演绎推理的`基本功，不仅见木见林，而且对数学有整体的认识，对数学的精神、数学美、数学的价值有切身的体会。属思想性层次，通常叫做透彻理解。是“何由以知其所以然”，在学习上是既懂又会能活用。理解的这四个层次也间接地道出了一个学习上由懂到会的循序渐进的过程，“既懂又会”需要教师更多地关注课堂教学与评价，要立足于为“理解”而教。
下面的案例相信大家都经历过，笔者曾经给三个年级的学生布置过同一个问题，但学生对该问题的理解差异很大，于是反映出来的“懂而不会”“既懂又会”也很明显。
上面的求解思路是完全可以的，问题未能解答完整的原因在于“懂”消元操作过程，“不会”结合自变量范围求解，没有理解方程的解是有要求的，败在细节(范围)上。此类情况强调解题多回顾:条件有没有用齐，问题转化是否等价，养成良好的解题习惯应该还是可以达成“懂而会”的。
在学习了基本不等式内容后，题中的条件让人立刻想到直接利用基本不等式去操作，使用这种方法求解的学生不在少数。错误的原因是，学生机械模仿忽视了用基本不等式求最值问题时，两次运用基本不等式两个等号必须同时成立，上述解法，只重视了基本不等式的形似而质不符。学习中要明确数学公式的运用是有条件的，理解公式才能真正会用公式，而不是依葫芦画瓢式的套用公式。
上面三种方法的成功在于认准了基本不等式成立的条件，这里的凑、拆的方法其实本质是化为能取到等号条件的基本不等式，同样的想法(基本不等式的套用)不一样的操作其效果是不一样的，关键是对本质的理解。
此法是在学习完直线的方程后，一位头脑灵活的学生得出的，这种方法也可以认为是上面的代数式的一种几何解释。整体思想与数形结合的灵活运用，让学生感受到数学学习要有变通的、整体的思想，数学思想引领下的透彻理解让学生在学习上既懂又会，更能活用。
上面的案例可以看出学生在解决问题时，对同样的一个问题由于思考角度或者对问题的理解不同，就会做出不同的操作方式。在求解过程中，学生知道或者说“懂”这个知识点，但操作中往往又不能如愿以偿地完整解答出来，“懂而不会”的纠结主要还是受对知识结构理解的影响，真正意义上的为知识的理解而教是解决这个“老大难”的妙方。
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