基于“一题多解”与“变式”的数学复习课案例

时间:2020-08-08 19:55:14 研究生论文 我要投稿

基于“一题多解”与“变式”的数学复习课案例

  复习课的教学目标是为了巩固和加深所学知识,使知识系统化;使学生在掌握复习内容的知识结构的同时,培养学生的概括能力、运用知识的能力和终身学习的习惯。长期的教学实践使我们体会到:无论是基础教学,还是高三数学复习都不能在同一水平上简单重复,更不能使学生成为解题机器和知识的存储器;练不在多,而在于精,因此,恰当适量地采用“一题多解”与“变式”教学,进行多角度的解题思路分析,探讨解题规律和解题方法与技巧,对学生巩固基础知识、形成知识网络,提高解题技能,发展逻辑思维,提高分析问题与解决问题的能力,势必事半功倍。

基于“一题多解”与“变式”的数学复习课案例

  下面展示笔者一节高三数学复习课案例,以资交流。

  1、展示问题。引入课题(2009年浙江卷的第l7题)如图1,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点。现将△AFD沿AF折起,使平面ABD上平面ABC.在平面ABD内过点D作DK.LAB,K为垂足。

  2、探讨解法。总结规律“儿童的智慧在他们的指尖上。”心理学实验也证明:认知的发生和发展是通过人的活动来实现的。因此,解题时要结合题中情节引导学生进行一些操作活动,让学生在真实、具体的操作情境中丰富感知,在身临其境中得到启发,激活思维,从而探求其解法。

  学生动手操作,折纸实验。

  (1)直观感知:当沿对角线AC折起时,点 离点A最近,此刻AK最短;随着点,逐渐向点E靠近,K离点A越来越远,AK也越来越长;(2)确认范围:当AAFD沿AE折起时,点 即为AB的中点日;当AAFD沿AC折起时,AABD ACBD且AAHD为正三角形,故 为AH的中点。

  综合(1),(2),得÷< <1.在上面的活动中,虽然学生从“感性”上升到“理性”的认识过程中解决了问题,但笔者认为,这只是对于解题“一时之难”的权宜之计,不利于学生抽象思维能力的培养提高。因此,师生有必要再探讨问题的其他解法,并总结解题要点。

  分析1 当点,确定时,不难发现折叠以后的立体图也随之确定,若令DF=x,则1 <2,且t可以表示成关于 的函数,再求出函数的值域,即可得到t的取值范围。

  解法1 由题意可知,二面角D枷一C是直二面角,又DK_LAB,所以 上平面ABC,作KG上AF于G,连接DG,则DG上AF,故在折叠前,D,G,K三点共线,因此问题又可回归到平面图形之中,设DF= ,则1< <2,在RtaADF和RtAKAD中,/ADK=/GAK=LAFD点评解决本题的关键是目标函数的建立,如何把t表示成关于 的函数,即如何得到关于 和t的方程;由于折叠前后仅仅是ADAF与四边形ABCF的相对位置发生了变化,因此 和t的大小在折叠前后是不变的,上述解法的可取之处是在找关于 和t的方程时,回归到平面图形中解题。

  3、转换视角。优化解法每个学生都有自己独特的先天生理遗传与认知基础及思维方式。这种认知差异不可避免地影响到个体的学习活动,在新知建构和解决问题的过程中,表现为从不同角度进行分析、思考,由此产生不同的算法。《数学课程标准》也指出“由于学生生活背景和思考的角度不同,所使用的方法必然是多样化的,教师应尊重学生的想法,鼓励学生独立思考,提倡计算方法的多样化”。因此,算法多样化、一题多解是尊重学生个体差异的必然结果。

  问题是否还有其他的解决途径?一部分学生从不同的视角看这个问题,得到几种新解法:

  分析2 注意到立体图形中,DK上平面ABC,因此可以点 为原点建立空间坐标系,用坐标法解之。

  分析3 由于LFAB的大小确定时,点F也随之确定,折叠后的立体图形也确定了,因此也可以选择 FAB为目标函数的变量,仍通过求目标函数的值域解题。

  点评本解法之所以比前面给出的解法简单,其主要原因是我们选择了一个“好的变量”。通常情况下,在用目标函数法解立体几何范围问题时,选择角的大小为变量比选择线段长为变量要简捷一些。

  求异思维和求同思维是对立统一的,引导学生从个别现象中探索共同规律,概括出解题的一般方法相当重要,这样才能达到解决数学问题的“举一反三”、“融会贯通”的“营养价值”功效,培养学生的抽象概括能力;但在数学教学中有些教师常常忽视了教学中的归纳概括,孤立地看待多解中的各种解法,从而使学生的思维滞留在感性阶段,不能产生质的飞跃。

  解题小结综观以上解法,可以发现它们的共同之处:运用函数思想将一个量表示为另一个量的函数关系,有变量就有函数,函数思想为我们提供解决问题的一个“切人点”。正如一个著名的数学家所言,“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考”。

  “一题多解”是从数学知识的各种不同角度,运用不同的思维方法去解决同一个问题。因此所涉及的知识、方法、思想较单一,方法解题更广、更灵活。随着学生的思维逐步深入,马上又有学生通过构造法补形,凸显问题本质,课堂因变化的奥妙而推向精彩的高潮。

  分析4 根据条件中的面面垂直的性质特征,可以补形为长方体。利用AABD的边AB,AD为定值,确定四棱锥D-ABCF的顶点D的轨迹,以求t的取值范围。

  解法4 依题意,平面ABD上平面ABC,将四棱锥D—ABCF补形成长方体ABCD2-AlB1C。D。,如图3.因为点D在平面。

  4、顺水推舟。扩大战果数学教学的关键不是记住结论,而是经历探究的过程,感受数学的研究方法,促进数学能力的提高,只有在运用通性通法进行不断变式演练中,才能提高解题能力。通过变式教学,有意识、有目的地引导学生从“不变”的本质中探究“变”的规律,使思维在所学知识中游刃有余,顺畅飞翔。我们不难发现,当点,的位置确定时,立体图形也完全确定了,所以立体图形中的'一些几何量的取值范围也是确定的,因此我们可以通过“复制”原问题的解法求解一些立体图中的几何量的范围问题。

  5、改变条件。多方探究因材施教是课堂教学永远要坚持的原则。恰当合理的变式,有助于学生产生学习的“最佳动机”和激发灵感,升华思维,培养学生的创新意识。如果在教学中为教而变,随意地设置变式问题,那么不但会干扰课堂讲授的“主干”知识,而且会增加学生负担,起事倍功半的效果。变式教学的变式一定要限制在学生水平的“最近发展区”,而且变式后的题目,其内容必须是非本质的变化。变式教学要循序渐进,要有梯度,要抓住学生的思维发展趋势,否则就会使学生不适应,影响问题的解决,降低学习的效率。那么原题是否还有“可持续开发”的可行性呢?

  若改变原题的条件,把题设改为:“如图4,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点。现将AAFD沿AF折起,使二面角D一 一日为直二面角”,请你能设计出几个立体几何广口j题并给出解答(下面是学生给出的一些问题及解答)。

  6、教后总结目前高三数学复习存在着一些问题:老师讲解多,学生思考少;一问一答多,探究交流少;操练记忆多,鼓励创新少;强求一致多,发展个性少;照本宣科多,智力活动少;显性内容多,隐性内容少;应付任务多,精神乐趣少等等。不言而喻,复习的主体是学生,因而复习课的教学设计应充分考虑学生的知识能力状况。在这一点上,我们要充分调动学生的参与热情,充分信任其在知识学习中的能力,放手让他们试着去运用知识,试着对试题进行变式;在师生充分而有质量的对话互动中,激发学生兴趣、激活学生思维,提升学生的思维品质,使复习教学收到事半功倍的效果。

  复习课的教学设计,传授知识与培养能力互为手段与目标,我们切不可将着力点放在知识传授上,应着力于由知识向能力的转化过程,而“一题多解”是学生知识的内化与提升的一个重要手段,能够促进学生智慧的生成。对一个问题多角度深入研究的过程,无论是自主探索还是博采众长,由于思考的多角度,思维方法的活跃,解题经验的丰富,最优化的选取都会促使学生知不足而明差距,激发学习动力和学习兴趣,逐步形成刻苦钻研与交流的学风,这正是我们数学教学要看到的效果之一。

  总之,数学复习课上重题目训练而忽视思维锻炼是最不可取的。学生在做题的过程中虽然也在进行思维训练,但那只是学生自我调控下的训练,是一种缺少指向与引导而近于盲目的训练;而教师精心指导下的复习,方向性明确,能形成师生互动、生生互动的动态训练场。

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