保险公司赔付及破产的随机模拟与分析
保险公司赔付及破产的随机模拟与分析孙立娟 顾 岚
摘自“数理统计与管理”
摘 要 孙立娟、顾岚等.保险公司赔付及破产的随机模拟与分析.
本文研究定期人寿保险的承保理赔及破产模型，其中保单到达和索赔出现服从相互独立的Poisson过程。对此模型给出了破产概率的一个具体上界，通过随机模拟生成了持有保单数和理赔过程的样本轨道，分析研究破产概率与准备金和理赔额之间的关系。
中图分类号：O212 F840 文献标识码：A
Stochastic Simulation and Analysis of Claims and Ruin
for an lnsurance Company
SUN Li－juan GULan
Abstract In this paper we consider a model for the term insurance of a life insurance company,where the arrival of term policies and the occurence of claims follow two independent poisson processes.For this model,a concrete upper bound for the ruin probability is obtained.By stochastic simulation we show how varies the nurmber of holding policies and illustrante the relationship between the ruin probability,the premium reserve and claim amounts.
Key words：poisson process,Term policy,stochastic simulation， Ruin probability.
在我国保险公司的运作过程中，保费收入是主要收入来源，理赔则是主要的风险因素。为了保障保险公司财务经营的稳定及减少损失波动，保持足够多的保单数目是必不可少的。保险公司必须统筹安排：应备有多少准备金用于赔付，应将多少资金注入投资，以增加收益。保险公司最基本的经营目标就是要提高保险公司的偿付能力，确保稳定运作，因此，科学地预测保险公司未来的保费收入、可能发生的理赔额，以及估计保险公司的破产概率，等等，都是十分重要的课题。我国的保险事业起步较晚，保险业可能采用的金融投资工具有限，投资增值能力也较差，因此更加需要加强保险公司的经营管理。保险公司一方面应采取各种措施增加保单数额，稳定风险波动，另一方面合理地厘定保险费率，科学测算未来的风险和收益，这已经成为我国保险业必不可少的稳定经营手段。本文试图对保险公司未来持有保单数及破产概率的估算进行研究，并通过对保险公司的运行进行随机模拟，以期作出定量分析。
§1.概率模型的引人
本文以定期人寿保险为例进行研究。保险公司在经营中将不断出现下列事件：
1.客户购买保单。 2.发生理赔。 3.保单到期。 4.发生退保。
以上事件直接决定了保险公司持有保单的数目。为了简化模型，我们考虑保险公司经营一种定期人寿保单。由于国内对于退保有一定时间限制，且返回的保金量也较少，可以认为中途退保的可能性很小。因此，本文暂不考虑退保的发生。事实上，如航空保险等险种根本不可能中途退保。对于一般的保险产品，若需要考虑退保，可以依照本文的方法类似处理。在本文中，我们把发生一次客户购买保单、一次理赔或一次保单到期均称为发生一次系统事件，而且认为在同一时刻几乎不可能有两个或两个以上的系统事件发生。
假定人寿保单为T年期。设保险公司在未来时刻t持有保单数为Y(t)，客户购买保单时，保险合同生效，Y(t)的值将增加1；当理赔或保单到期发生时，保险责任中止，Y(t)的值将减少1。理赔发生时需予以赔付，而保单到期不需支付。因此，保险公司在每一时刻t所持有的保单数目｛Y(t),t0｝是一个连续时间离散状态的随机过程。设直至时刻t，保险公司售出的保单总数为M(t)，发生理赔的保单数为N(t)，到期的保单数为W(t)，而任意时刻购买保单与发生理赔是两个相互独立的事件，因此，可视｛M(t),t0｝｛N(t),t0｝为相互独立的随机过程。
｛M(t),t0｝可以理解为保单到达过程，根据历史资料可得到两个保单到达之间的平均时间间隔，记为1／λ；｛N(t),0｝可理解为理赔发生过程，根据历史资料同样可以得到两次理赔之间的平均时间间隔，记为1／μ。这些时间间隔之间又是相互独立的。假设在时刻t=0有：M(0)=0， N(0)=0，即在开始考察时，没有客户购买保单，也没有理赔发生。由上述可知，｛M(t),t0｝,｛N(t)t,0｝是两个相互独立的Poisson过程，即对任意s＞0
(1.1)
而且无论从直观上或是从经验上都应有
(1.2)
也就是：保单到达的速率应远比理赔发生的速率大，否则，这种保险产品就没有经营价值。
§2.承保赔付模型
假设在初始时刻t=0休险公司持有的保单数为0(即Y(0)=0)，易知保险公司刚刚开始经营T年期保险产品时持有的保单数应是
Y(t)=M(t)－N(t) t＜T
(2.1)
在这段时间，不可能发生保单到期，保单到达过程｛M(t),t≥0｝和理赔发生过程｛N((t),t≥0｝是相互独立的Poisson过程，因此｛Y(t),0≤t≤T｝是平稳增量过程。
由｛Y(t)｝的定义(2.1)式可得
(2.2)
并有 EY(t)=E［M(t)－N(t)］=(λ－μ)t
(2.3)
由于λ＞μ，故E［Y(t)］是时间t的增函数，即当0?t?T时，保险公司持有的期望保单数是一个递增过程。
当t＞T时，保单到达过程｛M(t)｝仍是速率为λ的Poisson流，这时，保单到期成为可能发生的系统事件，如无理赔发生，保单到期过程｛W(t)｝只是保单到达过程｛M(t)｝的重现，但由于理赔事件出现，使得保单到期速率小于λ。然而由于理赔发生的速率远远小于保单到达的速率(如(1.2)式)，根据实际经验理赔发生仅占保单总数的万分之五左右，因此，保单减少(理赔或保单到期)的时间间隔近似可视为服从参数为λ的指数分布。所以，当t＞T时，保单减少的速率与保单到达的速率几乎相同(=λ)。由此可知，在T时刻以后保险公司的保单数呈稳定状态，保单数在(2.3)式所给出的均值E［Y(t)］附近波动。
综合上述，t时刻保险公司的保单总数可由下式描述：
(2.4)
其中n0是初始保单数，W(t)是保单到期数。
我们将通过具体实例对｛Y(t)｝与｛M(t)｝,｛N(t)｝,｛W(t)｝之间的数量关系加以分析，并利用随机模拟对保险公司持有保单数进行研究。
例1.考虑1年期人寿保险，保单到达速率为λ=20张／天，理赔发生速率为μ=0.01次／天。用随机模拟［3］按照(1.1)相应的分布独立地产生过程｛M(t),0≤t≤T0｝和｛N(t),0≤t≤T0｝，其中T0=2190天(六年)。由此得到保单到期过程｛W(t),0≤t≤T0｝，并由(2.4)式计算出持有保单数过程｛Y(t),0≤t≤T0｝。图1给出了随机模拟所得样本轨道。
图1 随机模拟的样本轨道
表1 Pr｛Y(t)=n｝的理论论值和随机模拟值
t=180 n ［3201，3300］ ［3301，3400］ ［3401，3500］ ［3501，3600］ ［3601，3700］ ［3701，3800］ ［3801，3900］ ［3907，4000］
理论值 .000000 .000446 .050833 .465110 .438986 .044210 .000414 .000000
模拟值 .000000 .000000 .053000 .433000 .458000 .050000 .000000 .000000
t=360 n ［680，69001］ ［6910，7000］ ［7001，7100］ ［7101，7200］ ［7210，7300］ ［7301，7400］ ［7401，7500］ ［7501，7600］
理论值 .000224 .010034 .118881 .390903 .369771 .101885 .001184 .000001
模拟值 .000000 .010000 .129000 .360000 .372000 .106000 .011000 .000000
从图1中我们看到，当t?T时，Y(t)近似为单调增函数，而T时刻以后，保单数Y(t)在7300(=λY=20×365)上下波动。令Q(t)=W(t)+N(t)是t时刻的保单移出数。在给定参数λ，μ及T之下，我们得到t=T0时有关参数的1000次随机模拟的平均值为：
△M(T0) △N(T0) △W(T0) △Q(T0) Y(T0) N(T0)／M(T0)
19.9982 0.009968 19.9904 20.0003 7297.8900 .0004996
.1038 0.002389 0.1010 0.1022 36.3318 .0001344
其中第二行是各量相应的标准差。我们看到保单到达速率△M(T0)与λ十分接近，而索赔速率△N(T0)与到期速率W(T0)之和近似等于保单移出速率Q(T0)。此外，N(T0)／M(T0)μ／λ，Y(T0)?7300，这些都是与理论分析相符的。
表1是在t=180及360时概率Pr｛Y(t)=n｝的部分理论值和模拟值。理论值用(2.2)式计算，模拟值是在同样参数下进行1000次模拟所得频数。理论值和模拟值是非常接近的。
§3.破产模型
人们所关心的是保险公司在每一时期的破产概率及最终破产概率，经典的破产模型通常假定保险公司是按照单位时间常数速率收到保费，本文对此略加推广，考虑保费收入是一个Poisson过程，且理赔额是独立指数分布的情形。为此做如下假设：
(i)在时期［0,t］内收到保费的次数｛M(t),t0｝是速率为λ的Poisson过程(M(0)=0)；［0，t］时期内的理赔次数｛N(t),t0｝是速率为μ的Poisson过程(N(0)=0)，两个过程相互独立，且显然应当有λ》μ。
(ii)每次的`保费收入为常数c(c＞0),而第k次的理赔额为Xk,｛Xk,k≥1｝是相互独立随机变量并与｛N(t),t≥0｝独立，且Xk,k≥1服从参数为v的相同指数分布，即k≥1
(3.1)
在上述假定之下，获利过程｛S(t),t≥0｝为
(3.2)
为了保证保险公司的稳定经营，通常假设E［S(t)］＞0，即在单位时间内，保费收入大于理赔额：cλ＞μ／v。
设保险公司的初始资本为u,于是破产时间为
保险公司最终破产的概率为
Ψ(u)=Pr｛Tu＜∞｝
容易验证，由(3.2)式定义的获利过程S(t)具有以下性质：
(i)S(0)=0, P－a.s. (ii)｛S(t),t≥0｝具有平稳独立增量。
(iii)E［S(t)］=(cλ－μ／v)t＞0.(iv)存在正数r，使得E［e－rs(t)］＜∞
其中的性质(iii)需要用到.由性质(iv)可知，存在g(.)使
(3.3)
为了得出破产概率，我们需引用如下定理［1］［2］
定理 最终破产概率满足不等式
Ψ(u)≤e－Ru
(3.4)
其中 R=sup｛r｜g(r)≤0,r＞0｝
(3.5)
利用该定理及前文中的假设和性质，可以推出g(r)的具体表示，事实上，由性质(i),(ii)和(3.2)有
由于｛M(t)｝是参数为λ的Poisson过程，应有
同样由｛N(t)｝是参数为μ的Poisson过程，并由(3.1)及｛N(t)｝与｛Xk｝相互独立，得
推导中用到指数分布随机变量的矩母函数.综合上述即知，(3.3)式中的g(r)由下式给出：
(3.6)
显然g(0)=0,g(v)=+∞，且对充分小△r∈(0，v)有g(△r)＜0,因此必存在r*∈(0,v)使g(r*)=0,且有.因此对于本文所述情形，(3.5)式定义的R恰是(3.6)给出函数g(r)=0的正解(即R=r?).
例2 保单到达速率λ及理赔发生速率μ取值同例1，假设每张保单价格c=1.理赔额所服从指数分布的参数为v，准备金为u.表2中给出了总时间长度T0=7300天(20年)的随机模拟结果，其中b=1／v=E［Xk］(k≥1)是平均理赔额，表中所列是v取不同值、初始准备金不同时的理论破产概率上界，以* * *号标记的行是通过1000次随机模拟得到的破产概率。
表2 最终破产概率的理论上界和模拟结果
v×103 b=1／v R×103 u=b u=2b u=3b u=4b u=5b u=6b u=7b u=8b u=9b u=10b
.5263
1900
.02631
*** .9512
.833 .9049
.773 .8607
.076 .8188
.633 .7788
.576 .7409
.501 .7049
.455 .6704
.382 .6377
.339 .6066
.304
.5556
1800
.05541
*** .9049
.793 .8188
.675 .7409
.607 .6704
.525 .6067
.471 .5490
.396 .4967
.357 .4495
.319 .4067
.279 .3680
.235
.5882
1700
.08821
*** .8607
.716 .7409
.620 .6377
.514 .5489
.458 .4724
.391 .4066
.337 .3500
.265 .3013
.219 .2593
.175 .2232
.176
.6250
1600
.12497
*** .8190
.654 .6706
.556 .5493
.444 .4499
.366 .3685
.317 .3018
.215 .2471
.199 .2024
.165 .1658
.107 .1358
.107
.6667
1500
.16663
*** .7788
.604 .6065
.467 .4723
.355 .3678
.283 .2864
.229 .2231
.168 .1737
.129 .1353
.121 .1054
.097 .0820
.071
.7129
1400
.21423
*** .7409
.511 .5489
.413 .4067
.305 .3013
.221 .2233
.162 .1654
.113 .1226
091 .0908
.089 .0673
.056 .0498
.046
.7692
1300
.26916
*** .7047
.460 .4966
.334 .3500
.222 .2466
.172 .1738
.123 .1225
.080 .0863
.060 .0608
.051 .0429
.028 .0302
.012
.8333
1200
.33325
*** .6704
.424 .4495
.296 .3013
.186 .2020
.119 .1354
.092 .0908
.064 .0609
.035 .0408
.020 .0274
.020 .0183
.011
.9091
1100
.40899
*** .6377
.381 .4067
.248 .2593
.152 .1654
.095 .1055
.074 .0672
.038 .0429
.027 .0273
.014 .0174
.005 .0111
.006
1.0000
1000
.49987
*** .6066
.320 .3680
.185 .2232
.118 .1354
.056 .0821
.041 .0498
.027 .0302
.018 .0183
.014 .0111
.050 .0067
.020
我们看到：
1.破产概率的模拟值都小于理论破产概率上界，说明(3.4)确实为破产概率上界。
2.当v确定时，无论理论值或是模拟值，破产概率都随着初始准备金的增加而减小，这与保险公司的实际运作情况是相符的，表明具有充分准备金的重要性。
3.当参数v增大时，平均理赔额b减小，这时R的值随之增大，即破产概率上限减小，随机模拟的结果也表明破产概率随着平均理赔额的减小而减小，这表明合理厘定理赔额对于保险公司正常经营是至关重要的。
表3给出了破产时间分布的模拟结果，1，2，…，20表示等间隔(1年)的时间区间。我们看到，破产出现在经营初期的概率是较大的，特别当准备金较少而理赔额又较大时更是如此。而随着经营时间增加，出现破产的概率减小。而由E［S(t)］=(cλ－μ／v)t＞0，可知当t→∞时，E［S(t)］→∞，这说明，随着t增大，获利也增大，从而保险人司在无限远的时间(长期稳定经营)，破产概率为0。
表3 破产时间频数分布的模拟结果
v×103 b=1／v u 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1.0000
.7143
.5556 1000
1400
1800 3000
4200
5400 93
155
200 14
62
94 5
34
67 2
16
52 3
8
30 1
14
30 0
6
22 0
4
14 0
2
11 0
0
17 0
4
17 0
0
7 0
0
07 0
0
11 0
0
4 0
0
8 0
0
7 0
0
5 0
0
1 0
0
3
1.0000
.7143
.5556 1000
1400
1800 6000
8400
10800 19
23
14 6
19
58 1
15
49 0
10
36 0
9
31 1
3
24 0
3
15 0
5
20 0
1
14 0
3
25 0
5
14 0
1
9 0
2
9 0
1
7 0
1
10 0
1
11 0
2
9 0
0
4 0
0
7 0
0
3
1.0000
.7143
.5556 1000
1400
1800 8000
11200
1400 7
14
20 4
19
34 2
16
27 0
10
30 1
6
26 0
7
19 0
2
21 0
4
21 0
3
13 0
3
22 0
1
11 0
1
18 0
2
9 0
0
8 0
0
11 0
0
6 0
0
7 0
0
3 0
0
9 0
1
4
作者单位：孙立娟 顾 岚(中国人民大学统计学系，北京)
参考文献
［1］Gerber,H.U.(1979),数学风险论导引，成世学，严颖译，世界图书出版公司，1997.
［2］Grandell,J,.Aspect of Risk Thory,Springer－Verlag,New York.(1991)
［3］Nelson B.L.,Stochastic Modeling:Analysis and Simulation,McGraw=Hill,lnc.1994.
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