数学方法在物理中的应用
热点类型八 数学方法在物理中的应用
数学是所有自然科学，甚至社会科学的工具，所有自然现象、社会现象都可以抽象、概括成一个数学模型，这种特点在物理学中尤为明显，这就要求学生能灵活利用数学知识解决物理问题的能力非常高，所以应用数学工具解决物理问题是《考试大纲》中明确要求的五大能力之一.数学作为工具学科，其思想、方法和知识始终渗透、贯穿于整个物理学习和研究的过程中，为物理概念、定律的表述提供简洁、精确的数学语言，为学生进行抽象思维和逻辑思维推理提供有效的方法，为物理学中的数量分析和计提供有力的工具.
在历年的高考中对利用数学知识解决物理问题的能力考查主要了体现在：（1）利用函数方法解决物体的各种物理量随时变化的问题：如二次函数、三角函数、正比函数、反比函数的应用常；（2）应用坐标图、几何图形，分析物理量的变化及运动情况等，主要是图形的识别、计算、图形的建立，如在光学、电磁学领域解题的关键往往就是对图形的理解与应用；（3）利用数学中的间断点、拐点、区间等分析极法、临界值等；（4）归纳法、数列、无穷等比（差）数列求和法、极限等在解决物理问题时也经常出现。
押题1 如图8-1所示，三名质量相等的运动员手拉手脱离飞机作花样跳伞.由于作了某种动作，运动员C质心的加速度为，铅直向下，运动员A质心的加速度为，与铅直方向30°，加速度均以地球为参考系，求运动员B的质心加速度.运动员所在高度的重力加速度为g.运动员出舱后很长时间才张伞，不计空气阻力.
【押题依据】 本题考查学生运用牛顿第二定律的应用，注重了运用数学工具解决物理问题能力的考查，物理情景紧密联系生活实际，同时训练学生的分析、推理能力，解决实际问题的能力.押题指数7.
【解题指导】 以这三名运动员组成的系统为对象，由于不考虑空气阻力，系统所受合力为，方向竖直向下，由质点系牛顿第二定律，得：，即得，.
取运动员A质心加速度的水平分量方向和竖直向下分别为X轴和Y轴正方向，将上式投影得：
X轴方向上，有，即得
Y轴方向上，有，即得
故 运动员B的质心加速度大小为：，与铅直方向成.
【得分锦囊】 因为本题涉及的知识比较复杂，需要运用的知识比较多，尤其对矢量的合成与分解考查，所以解决问题的关键是要弄清物体所受力的情况求加速度，然后利用正交分解法分解加速度.
押题２如图，小船从A码头出发，沿垂直于河岸的方向渡河，若河宽为d，渡河速度υ1恒定，河水的流速与到河岸的距离x成正比，即（，k为常量），要使小船能够到达距A针对为s的B码头，则：
（1）船速为多少？（2）渡河时间为多少？
【押题依据】关于小船过河的问题我们经常遇到水速一致的情景，此题是依据实际情况来命题的，也符合考试大纲中对应用数学知识解决物理问题的能力。押题指数8。
【解题指导】（1）由于，而，所以x与t成正比，则υ2与t成正比 ，则过河时向下游移动的位移为S，利用图象8-2说明为三角形的面积为位移S，则，
（2）渡河时间为
【得分锦囊】解决本题的关键是理解速度与位移的关系来找与时间的关系，明确求位移的方法即可。注意面积所代表的意义。
押题３ 如图8-3所示，一块足够长的木板放在光滑的水平面上，在木板上自左向右放有序号为1，2，3，…，n号的木块，所有木块的质量均为m，与木板间的动摩擦因数都相同.开始时，木板静止不动，第1，2，3，…，n号的木块分别以初速度υ0，
2υ0、3υ0…nυ0同时运动，υ0方向向右.设木板的质量与所有木块的总质量相等，最终所有木块与木板以共同的速度匀速前进，试求：
（1）所有木块与木板一起匀速运动的速度；
（2）第1号木块与木板刚好相对静止时的速度υ1；（3）第（n-1）号木块在整个运动过程中的最小速度.
【押题依据】 本题根据考查动量知识为主题，体现了对数学知识的应用，这也是研究多个物体碰撞时经常应用的方法.押题指数8.
【解题指导】 （1）木块和木板组成的系统受到的合外力为零，系统的总动量守恒.对全过程应用动量守恒定律，有：
所以.
（2）当木块1的速度变为υ1时，速度减小量为（υ0-υ1）.由于每个木块的质量相同，故其受到的滑块摩擦力相同，每个木块运动的加速度也相同，故速度变化相同，即其他木块的速度减少量也为（υ0-υ1）.n块木块的动量的减少量nm（υ0-υ1），木板的动量变化为nmυ1，根据动量守恒定律： 所以
（3）当第（n-1）号木块与木板具有共同速度时，该木块前面的木块均与木板具有共同的速度，均为，则
所以.
【得分锦囊】本题考查了自然数列求和在动量守恒中的应用，解决此类题应注意明显是多个物体间的相互作用，应先从第一次、第二次找规律，然后再根据此来类推Ｎ个的情况，利用好数学归纳法，根据规律再利用数学中的等比或等差知识来分析求解。
押题４ 如图8-4所示，小球从长为L的光滑斜面顶端自由下滑，滑到底端时与挡板碰撞并反弹而回.若每次与挡板碰撞后的速度大小为碰撞前的4/5，求小球从开始下滑到最终停止于斜面下端一共通过的过程.
【押题依据】 本题就运动的往复性来命题，本题以等比数列求和数学知识来解决问题，押题指数8.
【解题指导】 小球在斜面上下滑和反弹而回的加速度相等，设为.小球第一次碰撞前、后速率及反弹路程分别为：
，，
第二次碰撞前、后速率及反弹路程分别为：
，，
第n次碰撞前、后速率及反弹路程分别为：
，，
所以小球最终停止于挡板处时所经历的总路程为：
【得分锦囊】 本题就数学归纳法与等比数列求和在物理解题中的应用，解题的关键是找出速度、位移的关系，同时对数学能力提出较高要求，学生要通过联系加强这方面的能力.
押题５ 如图8-4所示，临界角为45°的液面上有一点光源S，发出一束光线，垂直入射到水平放置于液体中，且距离液面为d的平面镜M上，当平面镜M绕垂直过中心O的轴以角速度ω逆时针匀速转动时，观察者发现水面上有一光斑掠过，设t=0时平面镜处于水平放置且镜面向上，试确定观察者所观察到的光斑在水面上的掠移速度υ与时t间的函数关系式，并求出该光斑的最大掠移速率为多少？
【押题依据】 对于光学的光路问题是高考的出题点，考查的关键是如何利用几何知识来解决，注意角度.押题指数7.
【解题指导】 如图8-6所示， 经时间t，平面镜转过的，光线反射到水平面上的P点，将光斑速度如图作出⊥分解，可知，而υ⊥=ι•2ω，而，所以.设水的临界角为C，当时，光线在水平面发生全反射而不能透过水面，观察者将观察不到光斑，因此，能观察到光斑的条件是，即，故，从而υ与t的函数关系式为，当时，即时，υ趋向于最大速率
【得分锦囊】 本题考查了反射与全反射问题，注意速度的合成与角度，利用数学知识解决时特别应注意角度，并且要注意光会发生全反射，有一个极值问题，利用三角函数来分析.
押题６ 如图8-7所示，一质量为500 kg的木箱放在质量为2 000 kg的平板车尾，木箱到驾驶室距离为L=1.6m,已知木箱与平板车间的动摩擦因数μ=0.484.平板车在运
动中所受阻力是车和箱总重0.20倍,平板车以υ0=22.0 m/s恒定速度行驶,突然驾驶员刹车做匀减速运动.为使木箱不撞击驾驶室(g=10 m/s2)试求:
(1)从刹车开始到平板车完全停止至少多长时间?
(2)驾驶员刹车时的制动力不能超过多大?
【押题依据】 在高考中对追及相遇问题中经常涉及不等式的应用，在本题中就此问题进行命制。押题指数8.
【解题指导】 (1)设刹车后,平板车的加速度为,从刹车到车停止经历时间,车所行驶距离为,则,,欲使小,应该大,作用于木箱的滑动摩擦力产生的加速度
当 时，木箱相对车底滑动，从刹车到车停木箱向前滑动的路程为，则 为使木箱不撞击驾驶室，应有
联立以上解得，所以
（2）设平板车，设制动力为F，则
解得.
【得分锦囊】 本题一定理解好位移之间的关系，利用运动学公式求解，解决追及相遇问题，一般应列好两个方程位移关系方程，加速度方程，利用不等式解决.
押题７ 如图8-8所示，在光滑的水平面上沿直线按不同的间距依次排列着质量均为m的滑块1、2、3、……、（n—1）、n.滑块P的质量也为m，它在大小为F的水平恒力作用下向右运动，经时间T与滑块1碰撞，碰撞后滑块P便与滑块1粘连在一起，以后每经过时间T就与下一滑块碰撞一次，每次碰撞后均粘连在一起，碰撞的时间极短（可不计），每个滑块都可简化为质点，已知在整个过程中力F始终作用在P上，求：
（1）第一次碰撞后瞬间的速度及第一次碰撞过程中产生的内能；
（2）发生第n次碰撞后滑块P的速度；
（3）第（n—1）个滑块与第n个滑块间的距离；
（4）从第一次碰撞到第n次碰撞的整个过程中，因碰撞损失的机械能是多少.
【押题依据】 在高考中经常会涉及有关动量守恒的内容与数学知识的紧密结合，本题设计了多个滑块的碰撞，应从中找出规律来求解. 押题指数8.
【解题指导】 (1)滑块P与滑块1碰撞时动量守恒，得
由动量定理得 所以得，产生的内能为
（2）力F的总冲量为n个滑块的总动量，即得
（3）由（2）可得，由牛顿第二定律得，由运动学公式可得
（4）由以上可得，，，所以到第n次碰撞的整个过程中力F做的功为
从第一次碰撞到第n次碰撞的整个过程中因碰撞损失的机械能是
.
【得分锦囊】 本题关键是理清碰撞情景，尤其在解决最后一问时，应该知道力F做的总功减去最后的动能等于碰撞产生的内能，在最后的解题时要注意数学归纳法的应用.
押题８ 如图8-9所示电路四个干电池，每个电池E=1.5 V,r=0.5Ω, R1=2 Ω, R2=6 Ω,R3为变阻器,总电阻为12 Ω,求变阻器触头C移至什么位置时V读数最大?电压表读数的最大值是多少伏?
【押题依据】 本题明显的一道极值问题，这是高考考查的一个热点问题，有时高考在最大值、最小值上命题.押题指数8.
【解题指导】 设则
电压表的读数为
令可以看出当有极大值时，U有极大值，由分析可得，
当时，
所以得.
【得分锦囊】 本题考查的极值问题，解决此类题的方法是利用物理情景规律列出方程，利用函数思想来解决.
押题９ 如图8-10所示,直角坐标系中,在的区域存在沿轴负方向的匀强电场,场强大小为；在的区域存在一垂直纸面的矩形有界匀强磁场,其左边界和下边界分别与、轴重合,磁感应强度大小为(图中未画出),现有一质量为电量为的质子从第二象限的某点以初速度沿轴正方向开始运动,以的速度经坐标为（0，）的点.在经磁场偏转恰好从坐标原点沿轴的负方向返回电场,不计质子的重力.求:
(1)点的坐标；
(2)矩形磁场的面积
【押题依据】 对电场与磁场的考查经常是相互关联但不复合，本题考查了带电粒子在电场中的偏转与在磁场中的圆周运动，重点在利用数学工具解决物理问题的能力的考查.押题指数9.
【解题指导】 （1）如图8-11所示，设点的.坐标为（）.从到，质子做类平抛运动.设过 点时的速度与轴的夹角为，则：
所以
质子在点方向的分速度
在电场中质子运动的加速度设质子由到的时间为，则
解得：
（2）设所加的最小矩形磁场的高和底长分别为，质子在磁场中的做圆周运动的半径为，则：
所以 又
所以.
【得分锦囊】 解决本题的关键应理解物体运动的情景，应明确在电场中的类平抛，磁场中的圆周运动，注意在磁场中如何利用平面几何知识分析，求半径、求面积，这是分析解决本题好本题的重要点.
押题１０ 如图8-12所示，光滑且足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在同一水平面上，两导轨间距L=2．５m,电阻R=4Ω,导轨上放一质量m=0.5kg的金属杆,导轨和金属杆的电阻不计,整个装置处于磁感应强度B=0.80T的匀强磁场中,磁场方向竖直向下,现用一拉力沿水平方向拉杆, 使之由静止开始运动,绘出回路中电流的平方随时间t变化的i2—t图线8-13,求5s内(1)金属杆的最大动能;(2)电流的有效值;(3)拉力做的功.
【押题依据】 对高考近几年经常出情景新颖综合性强的题目,本题就电磁感应知识为依托,重点考查了学生对图象的理解,如何求有效值,强化了对数学知识的应用. 押题指数9.
【解题指导】 (1)由,,,得
所以当I最大时,即时,动能最大
(2)由于i2—t图线是直线，得i2＝kt，根据图8-14中斜线所画的面积,由有效值的概念得即
所以.
(3)由功能关系得拉力做的功为.
【得分锦囊】 解决本题的关键是对图象的理解,明确面积所代表的意义,可知利用面积求产生的热量,这是本题的难点,只要突破了此点,本题迎刃解决.注意课本在讲位移时介绍了面积所代表的意义，所以在解决其它问题时希望学生能很好的利用这一思想。
押题1１ 如图8-15所示，坐标空间中有场强为E的匀强电场和磁感应强度为B的匀强磁场，y轴为两种场的分界线，图中虚线为磁场区的右边界，现有一质量为m、带电量为-q的带电粒子（不计重力），从电场中P点以初速度υ0沿x轴正方向运动.已知P点的坐标为，且.试求：
（1）要使带电粒子能穿过磁场区而不再返回到电场中，磁场的宽度d应满足什么条件？
（2）要使带电粒子恰好不能从右边界穿出磁场区，则带电粒子在磁场中运动的时间为多少？
【押题依据】 在磁场中考查带电粒子的运动情况时经常会涉及圆周运动知识,本题依此来进行命题的.押题指数7.
【解题指导】（1）研究带电粒子在电场中的运动：
水平方向：，解得：
竖直方向，由动量定量得：解得：
所以粒子进入磁场时的速度：，方向与x轴成45°角，研究带电粒子在磁场中的运动：当粒子刚好不从磁场右边界穿出时，其轨迹如图8-16所示，由牛顿第二定律得：，得
解得：
所以，要使带电粒子在穿过磁场区域而不再返回电场中，磁场的宽度d应满足的条件为：
（2）粒子在磁场中运动的周期
运动的时间.
【得分锦囊】 本题考查来电偏转与磁偏转问题,电偏转问题应注意应用类平抛知识,对于磁偏转应注意圆周运动确定圆心找半径,关于圆的知识考查的较详细,做题时应注意圆心角、弦切角、弦与角之间的关系.
押题1２ 如图8-17所示，宽为L的金属导轨置于磁感应强度为B的匀强磁场中，且B的方向竖直向下.电源的电动势为E，内阻为r.不计其他电阻和一切摩擦，求当开关S闭合后，金属棒PQ速度多大时，机械功率最大？最大值是多少？
【押题依据】 高考在对利用数学知识解决物理问题的考查是多方面的，这就要求学生能灵活的应用数学知识，平时做题时应养成这样的
思维.押题指数8.
【解题指导】当开关S闭合后，电路中的电流为I，金属棒受到的安培力为
可见，F与υ是线性关系，作出F—υ图线如图8-18所示，根据直角三角形内接矩形的性质，（证明：在图8-19中，阴影面积为S，所以，由于θ恒定，根据定和求积原理，当AC=BC时，CD与CF的乘积最大，）即当金属棒PQ的速度时，金属棒机械功率最大，最大值为
【得分锦囊】 在数学中有这样一个结论，在直角三角形中，其内接矩形的面积的最大值是直角三角形面积的一半，其中四个顶点中有两个位于两直角边的中点上，一个位于斜边，另一个为直角对应的点.本题就是利用这一原理解题的，解决此类最值问题应先利用物理知识列出函数表达式，然后利用数学知识分析.
押题1３ 如图8-20所示，理想变压器的原线圈接在电动势为E、内阻为r的交变电源上，副线圈接阻值为R的电阻.当理想变压器原、副线圈的匝数之比为多大时，消耗在电阻上的电功率最大？最大值为多少？
【押题依据】 本题就利用换元法及二次函数求极值问题来设计，题目对数学知识的要求能力非常高.押题指数8.
【解题指导】根据相应的物理规律可得：
设，由上述方程消去参量，可将P表示为的函数为：
由于P表示为的函数较为复杂，使得通过直接分析其单调性求极值点和极值不方便，所以还应再次换元简化函数形式.利用
代入上式得：，所以当，即当变压器原、副线圈匝数比为时，负载上的消耗电功率最大，最大功率为.
【得分锦囊】 解决此类求最值问题一定应先利用物理知识列出函数表达式，然后观察利用那些数学知识来分析，可利用图形、极限、判别式等方法求极值，本题就利用换元法及二次函数来求极值的，希望学生在解决最值问题时多动动脑筋，思路还是比较明显的.
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