巧用图象解题初探
巧用图象解题初探物理问题的表述方式有三种：公式、表格和图象。其实，大多实际物理问题的最初研究都是从表格（数据记录）和图象（常用的数据处理方式）开始的，其中图象的最大特点就是直观。
高中物理学习中也涉及大量的图象问题，从力学到电学、热学、原子物理学，涵盖面相当广泛。运用图象的能力要求归纳起来，主要包含以下三点：（1）读图：即从给出的图象中读出有用的信息来补足题中的条件解题；（2）用图：利用特定的图象如υ-t图、U-I图P-V图等来方便、快捷地解题；（3）作图：通过作辅助图帮助理清物理线索来解题。这三点对学生思维的能力要求层层提高。
下面先看一道利用图象方便解题的例子。
例1：一物体作加速直线运动，依次通过A、B、C三个位置，B为A C的中点，物体在AB段的加速度为a1，在BC段的加速度为a2，测得速度υB = （υA +υC），则：
A． a1＞a2 B．a1＜a2 C．a1=a2 D．无法判断
该题若用公式推导加以判断，其过程显得繁琐，而利用
图象解题则简洁明了。抓住υB = （υA +υC），并用匀加速
直线运动（图中虚线）作为参考，注意到B是A C的中点，
因而前后两段图线（图中实线）下的面积（代表位移）应该
相等，从图中明显看出，a1＜a2 。
上例中图象解题简明、快捷的特点显而易见，可是学生却常常不能很好地运用图象。原因是很多学生没有抓住图象的要素，就图论图，对图象的认识停留在浅表的层次上，难免觉得图象方法变化多端，比较抽象，自然也就谈不上灵活应用了。
如果我们能够经常有意识地帮助学生分析有关图象所表达的物理意义，以及如何利用图象来解决相应的物理问题，那就不仅使学生学会了一种解题方法，而且更能使学生对许多问题的物理本质加深理解，长此以往，对提高学生的思维能力和物理素养也会有很大的帮助。
图象虽然看似复杂，其实，只要抓住斜率、截距、交点、面积、临界点这几个要点，即可达到既加深理解图象的物理意义、又直观方便解题的目的。
一、理解斜率的物理意义
物理学习中大量涉及的图象是υ-t图，它变化很多，在此首先要搞清的就是υ-t图中的曲线上某点的切线的斜率所代表的是该点的加速度。
例2：在倾角为θ的长斜面上有一带帆的滑块从静止
开始沿斜面下滑，滑块的质量为m，它与斜面间的
动摩擦因数为μ，帆受到的空气阻力与滑块下滑
速度的大小成正比，即f=kv。滑块从静止开始
下滑的速度——时间图象如图所示，图中斜直线
是t=0时速度图线的切线，若已知m=2.0kg，θ=30°, g=10m/s2,由此求出μ和k的值。
分析：本题最关键之处是读出图中两个隐含条件：由图线开始处的速度图线的切线的斜率得到t=0时的加速度a0 = 3m/s2, 再由图中读出物体运动的最终速度υm =2m/s。由滑块受力分析，即可得a=（mgsinθ- μmgcosθ – kv）/ m, 当a=0时，得到滑块下滑的最大速度υm = （mgsinθ- μmgcosθ ）/ k 。把a0和υm的值代入前面两式即可求得μ=和k=3Ns/m。
该例是读图的典型例子。同时该例还告诉我们 , 图象解图往往并非简单的就图论图，而是常常和实际情景及物理公式结合在一起来解决问题 , 综合性比较强。对物理问题理解得越深刻 , 解决问题的方法就越简单。
例3．如右上图 ，A物体放在粗糙水平面上，用绳和B物体
连结在一起。用水平力F作用在A上向左拉动A，使B竖直
向上匀速运动，判断力F的大小如何变化。
分析：对物体A进行受力分析如右中图,因为物体B是匀速的，
所以T大小不变，且两物沿绳方向速度相等，υA=υB/cosθ, θ是
在减小的，所以υA也是减小的，物A做减速运动。
Tcosθ+μ(G-Tsinθ)-F=ma,得
F= Tcosθ+μ(G-Tsinθ)-ma,
式中Tcosθ、μ(G-Tsinθ)这两项都是增大的，关键是判断a
究竟是增大还是减少的，但这超出了初等数学的范围。此时可以利
用图象加以判断。据υA=υB/cosθ , 当从90º→0º的过程中，υA
单调减小，且υA→υB ,作出υ-t图象如右图，由图中曲线切线的斜率可以看出，a是单调减小的，由此得到F是逐渐增大的。
学生常常想不到何时可用υ-t 图象 , 象上题这类 F → a → 的问题 , 当无法用初等数学解决 , 且题目本身又并不追究具体的数值 , 仅作出变化趋势的判断 , 那就不妨
尝试一下图象解法 , 或许就会柳暗花明了。
二、抓住截距的隐含条件
图象中图线与纵、横轴的截距是另一个值得关注的地方。
例4．在测电池的电动势和内电阻的实验中，根据得出
的一组数据作出U—I图像，如图所示，由图像得出电池的
电动势ε= V，内电阻r = Ω。
分析：电源的U-I图象是经常碰到的，从图线与纵轴
的截距容易得出电动势ε=1.5V,学生在这里常犯的错误是
把图线与横轴的截距0.6A当作短路电路，而得出r=ε/ I短
=2.5Ω的错误结论, 原因就是在初始学习时（题目的纵、横坐标起点均为0）对截距的物理意义不求甚解（此时纵轴截距为外电路电流为零时的端压，即电动势，横轴截距为端压为零时的电流，即短路电流），而单纯的机械记忆造成的。
本题还可在截距上进一步变化，使横坐标的起点也不是从零开始，这时就连电动势也不能简单的从图线与纵轴的截距上读出了，而要根据纵、横截距的物理意义代入方程进行计算了。如果没有对图线的截距所代表的物理意义分析透彻，是无法得到正确的结论的。
三、挖掘交点的'潜在含意
图象中的交点往往又是一个重要的条件，需要我们多加关注。
例5．现有一只标有“6V、1W”的小灯泡，用伏安法测得
一组数据后作出了小灯泡的U-I特性曲线如右上图，若将此灯
泡与R=9Ω的定值电阻串联后，接在一个电动势为ε=6V、r=1Ω
的电源上，此时灯泡的实际功率是多少瓦？
分析：从灯泡的U-I特性曲线可以看出，灯泡作为一个
实际的用电器，其电阻是随着电流的增大而增大的，所以在
不同的电压下其电阻是不一样的，不能简单地用串、并联中
电压分配的规律来求出功率。把定值电阻R=9Ω并入电源，
相当于电源的内阻rˊ= 10Ω，根据端压公式U=ε-I rˊ，
在图中作出电源的端压U=ε-I rˊ与电流关系的U-I图线
（如右图），其与灯泡的U-I特性曲线的交点C所对应的纵、横坐标即代表该电源与该灯泡连接时灯泡连端实际的电压U和电流I，根据功率的公式P=UI，即可得灯泡的实际功率。
上述例子告诉我们，利用U-I图中交点所代表的物理意义，可以解决电路中一类伏安特性曲线非线性变化的用电器（如实际电灯泡、二极管等）与电源连接时的实际电压和实际电流的问题。
四、明确面积的物理意义
利用图象的面积所代表的物理意义解题，往往带有一定的综合性，常和斜率的物理意义结合起来，其中υ-t图象中图线下的面积代表质点运动的位移是最基本也是运用得最多的。
例6．如图，一颗子弹以较大的速度υ0水平击穿原来静止在光滑水平面上的木块，设木块对子弹的阻力不随速度而变，则当子弹水平速度增大为υ* 时，问：
子弹穿过木块的时间如何变化？
木块获得的速度大小如何变化？
分析：细想起来，当子弹的速度大小发生变化的时候，其穿越木块的时间、速度的改变量、木块获得的速度等等都会跟着改变，似乎显得颇为复杂。但如果抓住了在这些复杂的变化中的不变量——子弹和木块之间的相对位移，即木块的厚度，并利用υ-t图象，事情就一下子变得简单了。
作出子弹和木块的υ-t图，为图中的υ0a 和0b，子弹穿出
木块所对应的时间t1，图中梯形υ0at10的面积代表子弹的
位移，△0bt1的面积代表木块的位移，则梯形υ0ab0的面积
代表子弹和木块之间的相对位移。当子弹的速度增加时，因
为相互作用力不变，作出的υ-t为图中的υ*c和0d，为保证
梯形υ*cd0的面积（即子弹和木块之间的相对位移）和梯形
υ0ab0的面积相等，则必然t2 ＜t1，木块的速度υd＜υb。
利用类比的方法，搞清不同图象中线下面积所代表的物理意义，可以解决更多的问题。
例7．一只老鼠从洞口爬出后沿一直线运动，其速度大小与其离开洞口的距离成反比。当其到达距洞口为d 1的A点时速度为v1。若B点离洞口的距离为d2（d2＞d 1），求老鼠由A运动至B所需的时间。
分析：本题中由于老鼠的速度υ是一个非线性变化的变量，用
初等数学的方法也是无法得出时间的。但注意到υ∝，可
通过与υ-t图象类比的方式作出d- 图象(如右图所示)来
求解。图中纵、横坐标的乘积单位是时间的单位，根据梯形
面积公式，可方便得出t=（d2 -d2）/2υ1d1。
该题处理的方法在物理竞赛中是常用到的。
相同的类比还有很多：如F-s图中的“面积”代表力F所做的功；F-t图中的“面积”代表冲量； P-V图中的“面积”代表气体所做的功等等。但并非所有图象的“面积”都可以如此类比解题的，如U-I图象中图线下的“面积”就不能代表电阻所消耗的电功率了，又如上题中有些同学不求甚解，把纵、横坐标弄倒，而认为图中线下的面积代表时间的倒数，那就完全搞错了。所以在类比应用中还是要基于对图象内涵的深刻理解。
五、在图中表达临界条件
题中“恰好”、“至少”等字眼常提示着某种临界条件，有时把临界条件反映在图中，可以使物理情景变得清晰。
例8.某人在日落后4小时看到一颗人造卫星恰在头顶上,求该人造卫星的周期.(已知地球半径为R,质量为M)
分析:本题如能抓住“恰在头顶”这几个字,把物理情景在图中表达出来(如右图),则可知道经过4小时,该观察者随地球自转从图中A位置转到图中A/的位置,转过的角度θ=600.所以判断出卫星离地心的距离r=2R,由G = mr即可得出周期T的结果.
该题经过作图，各物理量关系一目了然，胜过许多文字表达。
分析:此处可套用自由弦定理,即物体由静止开始,无摩擦的从竖直放置的圆环的的最高点沿不同的弦运动到圆周上所需要的时间相等,都等于竖直直径自由落体的时间.所以只要寻
通过以上讨论可以看到，图象的内涵丰富，综合性比较强，而表达却非常简明，是物理学习中数、形、意的完美统一，体现着对物理问题的深刻理解。给学生的不仅仅是一种解题方法，也是一个感悟物理简洁美的过程。
但并非所有的问题都可用图象解题。如热学玻璃管中被液滴分割的两部分气柱，当温度变化时气柱向什么方向移动的问题，虽然很多书中都提到了用p-T图象解题的方法，但我认为，此类问题采取假设液滴不动的方法，利用查理定律的变形，完全可以收一网打尽之功效，用图象解题反而徒增了理解上的难度，显得累赘了。
笔者希望通过本文帮助同学克服对图象解题的神秘感和恐惧心，善于应用图中条件，乐于尝试用图象来解题，加深对物理问题本质的理解，在实践中不断提高自己运用图象解决问题的能力。
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