浅谈图像法在中学物理实验中的应用
浅谈图像法在中学物理实验中的应用
摘要：本文在简单介绍图像法的基础上，从图像法能形象直观地描述物理量之间的关系，简化实验和数据处理的方法，减小误差、分析误差的成因，便于实验进行深入分析推导出经验公式四个方面入手，并结合中学物理实验中有特点的实例阐述了图像法在中学物理实验中的应用。
关键词：图像法 斜率 截距 面积
物理是一门以实验为基础的学科。物理学所得出的定律，绝大多数是用实验探索得出来的，也就是通过大量实验来进行观察，实验是学生接受物理知识最符合认识规律的方法，由于物理现象研究是非常复杂的，各种因素交织在一起，这就需要我们来简化实验。在做物理实验时，仅仅记下一些物理量的大小和实验现象是不够的，还需要将测得的数据进行归纳整理，由表及里，去粗取精，运用数学工具，总结出物理规律，因此，学生经常被一些繁难的运算和大大小小的实验误差所难倒，得不出正确的结论，还有些数据在实验中无法直接测得，而图像法能够很好的解决这些方面的问题。
1．图像法简介
物理规律可以用文字来描述，也可以函数式来表示，还可以用图像来描述。利用图像描述物理规律，解决物理问题的方法就称之为图像法。图像法通过图像来确定物理量之间的关系，是一种科学探究的基本方法。
用图像法来描述物理过程具有形象直观的特点，可以清晰地描述出其变化的动态特征，把物理量之间的相互依赖关系和线性关系、周期性等清晰地呈现出来，通过图像的比较，学生能够较容易的理解物理过程发现物理规律，这种直观印象有时能透过事物的本质，诱使人们做更深入的探讨，利用图像法思路清晰可以使得物理问题简化明了，还能起到一般计算法所不能起到的作用，可以使物理概念得到进一步拓展，而且图像法能将物理学科和其它学科有机地结合起来，启迪学生的创新意识，培养创造能力，提高学生的综合能力。
当然图像法也有一些不足之处，主要表现在下面几个方面：
①学生容易搞不清楚纵轴和横轴所代表的物理量，不能够明确要描述的是哪两个物理量之间的关系。比如学生就有可能把简谐运动和简谐波的图像认为是相同的。
②学生很容易误解成图线就是表示物体实际运动的轨迹。如匀速直线运动的S－T图像是一条斜向上的直线，但物体实际运动的轨迹可能是水平的，并不一定是向上爬坡的。
③在利用图像法的过程中，要求学生根据实际问题灵活地建立坐标系，确定两个合适的物理量来作出图像。如果坐标轴所代表的物理量选择的不合理，反而不能够简化实验。
④学生不能够真正的从物理意义上去认识图像，不能够由图像的形状看出物理过程的特征，不能够由截距、斜率、图线所围的面积、两图线交点等有特殊意义的方面看出其中隐含的物理意义。
我们可以从下列几个方面来探讨图像法在中学物理实验中的应用。
2．形象直观地反映各物理量之间的关系
图像能够把抽象复杂的物理规律有选择地、具体地表现出来，形象直观准确的反映物理量之间的关系，学生可以从图像中方便地看出所求的物理量以及从实验中得出的结论，从而揭示物理本质或规律。
2．1 探究功与物体速度的变化关系
高中课本有探究功和物体速度变化关系这么一个实验。实验过程是这样的：小车在橡皮筋的作用下弹出，沿木块滑行，当我们用2条、3条……同样的橡皮筋进行第2次、第3次……实验中橡皮筋对小车做的功就是第一次的2倍、3倍……如果把第一次实验时橡皮筋的功记为，以后各次的功就是、……橡皮筋做功而使小车获得的速度可以由纸带和打点计时器测出［1］。以橡皮筋对小车做的功为纵坐标，小车获得的速度为横坐标，以第一次实验时的功为单位，作出曲线图（如图所示），我们可以由所做出的曲线图，直接判断出。
2．2 从打点计时器打出的纸带求出加速度
物体做匀变速直线运动时，其加速度可以直接由图像法确定，根据图线，直线的斜率就是加速度：。根据-图线，直线的斜率为，所以。根据--图线，直线的斜率为，所以（其中总是正整数，可以用圆规直接从纸带上“移”过来。）
2．3 验证牛顿第二定律
在验证牛顿第二定律时，可以用两种方法来进行：一种是逐次增多拉小车钩码的个数，一种是保持小车和钩码的总质量不变，改变拉小车钩码的个数。从实验中得到的数据作出-图线，很容易由图中的一条直线，得出与的关系：∝。从理论上，实验作出的a-F图线是一条通过原点的直线，可实际实验的结果，并非都是通过原点的直线，而会出现以下两种情况：如图2所示，此直线与纵轴有截距，则表示平衡摩擦力过度了；如图3所示，此直线与横轴有截距，则表示在实验过程中，没有能足够的平衡摩擦力。
3．简化实验和数据处理的方法
利用图像法可以让学生较容易的抓住主要矛盾，排除干扰，不被过多的细小问题搞昏了头，在处理数据时不被复杂的数学运算所难倒。
3．1 验证玻—马定律实验
我们在验证玻—马定律（常量）时，常用的方法是用一根一端封闭的粗细均匀的细长玻璃管，并在管中封入一段水银，我们改变压在密封气体上面的水银的重力，测出相应的气体体积，进行若干次以得到数据：，（其中为大气压强，为水银的重力，为玻璃管的内截面，为密封气体的长度）。得到数据再看是否有（常量），如有，则说明玻—马定律成立。但在学生实验中存在一些问题：学生的操作技能如何？能否确保安全？能否确保玻璃管垂直（又需附加器件）？是否有气压计，确保的测量准确，等等。所有这些都将给实验带来更多的要求和一定的困难。
是否可以利用图像法呢？对此我们可以这样分析：在实验中我们要验证（常量）也就是要验证：即 （其中为封闭空气柱的长度，为空气上方水银柱的竖直高度）。对于不同的值，也有相应的变化。因此，可将看作是的函数，将上式变形得：（1）
由此可见，若成立，那么--图线为一条直线，现在我们只能用实验来验证--是否为一条直线，这样我们只要改变h就可以了，改变h的方法很简单，只要改变水银柱的倾角，即改变玻璃管的倾角就可以了。
如图4所示，将上式代入（1）可得：
即．因此，我们只要改变玻璃管的倾斜状态，测出若干个状态下的值和值，然后作出--图线，如果--图线为一直线，那么即可认为成立，由此可见，采用图像法之后，这一实验的实验方法和数据处理方法就简单多了。在这一实验中，如果没有气压计测出准确的大气压（没有测出玻璃管的内截面积）也不影响实验的进行，而对于前一种方法是办不到的［2］。
3．2 测量单摆的周期
在测量单摆的周期时，我们需要测量单摆的摆长，而单摆的摆长应该是摆的悬点到摆球质心的距离。可是在实验中能够精确测量的是悬线的长度，而不是摆长，因为小球质心的位置受小球制造时的各种因素的影响，无法精确地测量。把改写成 （图5a所示）或，（图5b所示），则单摆的周期与摆长的关系变成：
或
这样，测出不同的下的值，作出--图线，由直线的截距即可定出不易测出的值。
单摆的周期与摆长的关系为：
上式在摆角θ很小，可认为的条件下成立，但是实际测量时摆角有一定数值，测得的不是，而是：
该式是取二级近似地单摆周期表达式，因为与成线性关系，所以只要测出不同摆角时的周期，并以周期为纵轴，为横轴，作出--图线，再进行线性外推，当时，即可获得截距，即摆角为零时的单摆周期［3］。
4．减少随机误差，帮助发现和分析误差
在作图描点的过程中，根据不同情况把数据点连成光滑的直线或曲线。由于测量存在一定的误差，所以曲线不一定要通过所有的点，而是要求数据点均匀的分布在曲线两旁，这相当于在数据处理过程中取平均值，若个别点偏差过大，应仔细分析后决定是否舍去。在这一过程中，偶然的因素被大大的降低了。
4．1 伏特表-安培表测和的实验
伏安法测电池的电动势和内阻实验通常有两种方法：内接法和外接法（如图6）。为了减少偶然误差，可采用图像法处理数据：不断改变变阻器的阻值，从伏特表、安培表上读取多组路端电压和电源的电流的值，然后根据多组、值画出电源的图像，根据闭合电路的欧姆定律，由于和都是常量，所以是的一次函数，这个图像应该是一条直线，由于实验误差，根据实测数据作出的点不会严格地落在同一条直线上，我们用直尺画一条直线，使直线两侧的点子大致相等，这条直线就能代表电压-电流关系［4］（如图7中的直线AB和图8中的直线PM）。图线与纵轴的交点，电流，代表电路断开的情况，这时，电压等于电源电动势，即图线在纵轴上的截距就是电源的电动势，图线与横轴的交点，电压，代表电源两端短路，由短路电流与内阻、电动势的关系可知—图线的斜率就是电池的内阻。
图6（a）电路误差来源于伏特表的分流。在路端电压中，必须是流过电源的电流，由于电压表不是理想电表，导致电源电流的测量值（即安培表的示数）比真实值偏小，存在，其中为伏特表的内阻。①对于任意一个值，总有，其差值随U的减小而减小；②当趋于时，即外电路短路时，，此时。画出电源真实的--图线（如图6中直线AC所示，两图线在A点相交）。比较直线AB和AC纵轴截距和图线斜率，不难看出，。
图6（b）电路误差来源于安培表的分压，由于安培表不是理想电表，致使路端电压的测量值（即伏特表的示数）总比真实值偏小，其间差值，其中为安培表的内阻。①对于任意一个值，总有，其差值随电源电流的减小而减小；②当外电路断路即时，，。根据以上特点画出电池的--图线（如图8所示的直线NP，两图线相交于P点）。比较直线MP和NP 纵轴截距和斜率，显然， ［5］。
4．2 用伏特表、电阻箱测和的实验
如图9所示，把伏特表、电阻箱组成电路，由闭合电路的欧姆定律：，变形为，可见与外电路电阻（即电阻箱的取值）的倒数存在线形关系。不断改变电阻箱的取值，测出多组、值，然后作出-图线（见图10中的直线①）。把直线延长，与两坐标轴相交，那么图像在纵轴上的截距的倒数就是电池的电动势，在横轴上截距的倒数的绝对值就是电池的内阻。本实验方案中误差来源与伏特表内阻不是无穷大，导致外电阻的测量值（电阻箱读数）的倒数总比真实值的倒数偏小；其间的差值（）恒为一个定值（）。根据以上特点，画出电池真实的--图线（如图10中的直线②，两直线平行）。比较图10中的直线①②的纵、横轴的截距，不难看出，，即，。
5．根据变化趋势，建立经验公式
图像能直观地显示相应的物理量之间的相互关系和变化规律，反映一定的物理原理，图像不仅反应了物理量在若干个特定条件下的数值和状态，而且可以反应物理量在一般条件下的数值和状态。因此，我们可以由若干个特定条件下得到的状态下得到的数据，绘出图像，并由此拓展分析，得到更多的实验结论，导出经验公式，或者得到我们实验无法得到的数据。
在用电流表和电压表测电池的电动势和内电阻的实验中，通常按图11所示的电路，利用变阻器R测出几组，值后，在坐标纸上以为横坐标，为纵坐标，画出关系图像（如图12所示），并由此图像得到电池的电动势和电阻。根据图12，显然有，，如果对图12进一步分析，我们还能得到下述四个方面有意义的推论：
5．1 反比问题
从图线的'斜率为负可见：外电压U随着电流I的增大而减小，或随着电阻R的减小而减小，也就是说，电源的负载越大，电源的输出电压越小，输出电流越大。
5．2 功率问题
有研究电源输出功率与外负载的关系的实验，此实验的目的是验证：当外负载电阻等于电源内阻时，电源的输出功率最大。当电源的输出功率最大时，电源的效率为50%，根据测得的不同的、的数据，依次算出，得到与外负载的关系［6］，利用图像不需要计算，只要从图线上就可得出。
图线上的某一点，它的坐标是（，）。由此可得，当外电阻为时，它所获得的电功率（即电源的输出功率）为：。可见，的大小等于A点与坐标轴所构成的矩形的面积的大小（如图13所示）。何时电源的输出功率最大呢？当时，，当，。可见，当电压（或电流）最大时，输出功率并不是最大，反而是最小。由图13可见，要求电源的最大输出功率，即要求三角形中内接矩形的面积最大。
由平面几何的知识可知：当，时，内接矩形的面积最大，其值为：，此时，由全电路的欧姆定律很容易得，即当时，电源的输出功率最大。
5．3 效率问题
对于任意一个状态，外电阻为，电流为，输出电压为，那么，显然，电源的总功率为：；其输出功率（有用功）为：；其电源本身消耗的功率（无用功）为：。反映在图像上（如图13所示）即：的大小可由矩形的面积大小来表示，的大小可由矩形的面积大小来表示，的大小可由矩形ε的面积大小来表示。由此，即可得其效率为：
，
由此，利用图线，读出、的数值后极易求得其效率，从上面的分析，我们得到以下结论：
①；
②当，即时，其效率并非最大，而仅是%
5．4 充电问题
如果将图线向第二象限延伸，对于图线上某一点B来说（如图15），它的坐标为（，），其中，，这种情况相当于（如图16）利用电源（，）给电池（，）充电，从图15可见：①加在电池（，）两端的电压越高，流过电池（，）的电流就越大；②电池的输出功率为：，其大小可由矩形的面积的大小来表示，其中（如图17所示）的面积为，即为转化为电池（ε，r）化学能的功率，而的面积为，即为电池内阻r所消耗的功率［7］。
6．结束语
以上用实例论述了图像法在中学物理实验中的诸多应用，当然图像法在中学物理实验中的应用远不止这些，我们也可以从图像的另一个角度，来探讨图像法在实验过程中的应用。
从图像的四个层次来看它的应用：
“点”：物理图像上的“点”代表某一物理状态。从“点”着手分析时应注意从以下几个特殊“点”入手分析其物理意义：截距点、交点、极值点、拐点等等。
“线”：主要指图像的直线或曲线的切线，其斜率通常具有明确的物理意义。物理图像的斜率代表两个物理量之比值，其大小往往代表另一物理量的值。
“面”：图线与坐标轴所围的面积，有些物理图像的图线与坐标轴所围的面积的值常代表另一物理量的大小［8］。
“形”：图像的形状结合其斜率找出其中隐藏的物理意义。
我们在强调应用图像法解决实验中的问题，并非削弱其它方法的应用。在解决问题的过程中应提倡其它方法和图像法的有机结合，这是因为它们都可以用来描述物理变化的规律，各种形式之间是可以相互补充相互转化的［9］。总之，图像法是解决物理实验问题的一种重要手段。
参考文献：
［1］普通高中课程标准实验教科书．物理（必修2）．北京．人民教育出版社．2005．17页
［2］陶洪．物理实验论．第一版．南宁．广西教育出版社．1996．199页
［3］项红专．物理学思想方法的研究．第一版．杭州．浙江大学出版社．2004．100页
［4］全日制普通高级中学教科书．物理（必修）第二册．北京．人民教育出版社．2004．203页
［5］刘力华．“用伏特表和安培表测定电流的电动势和内电阻实验”的误差分析．数理化学习（高中版）．2005．24．40页
［6］安忠．刘炳升．中学物理实验教学研究．第一版．北京．高等教育出版社．1986．242页
［7］梅超．郭焕银．谈伏安法测电池内阻和电动势的图像法处理．宿州师专学报．2003．3．81页
［8］周正龙．图像法在物理实验中的应用．实验教学与仪器．2004．Z1．45页
［9］赵文军．建图在物理习题教学中的作用．中学物理教学参考．2000．5．29页
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