如何认识中国古代数学中的数和形
摘要：数和形概念的产生是数学的萌芽和起源，它们的发展进程奠定了早期古代数学科学形成的基础。从数和形开始的中国早期古代数学，在发展过程中也伴随着数学理念、思想的形成和发展。数和形的相关内容和内涵与古代人们的生活融为一体，对中国古代数学中数与形的认识应从社会整体角度来认识才会全面深刻。
关键词：中国 数和形 古代数学
一、中国早期数学中数与形的建立
学习和了解过中国古代数学的人们都会清楚地记得，人类“数”的概念首先是从“结绳记事”和“刻痕记数”开始。古代人从原始生活中收集到的小木棍、小石子，以及动物的牙齿、骨头开始记数。而关于“形”的概念则是从原始生活中建造器具、修建简易居住房屋开始的。
“数”的发展过程中，随着殷墟甲骨文中的一、二、三文字的出现，各种秦汉竹简中关于不同版本“九九表”的记录和“九九歌诀”的广泛流行，以及早期“十六进制”的创建应用，可以认为这些是中国早期数学中代数学的萌芽和形成;在这一个过程中“算筹”出现继而有了完美的十进位位值制记数法，是中国的独特创造，是世界其他古代民族所没有的。而“形”的发展过程，从古代生活器具的形状以及它们上面的花纹和图案，到建筑房屋所形成的平面和立体的几何形状，各种形状的房顶搭建，生活及生产中各种方形、梯形、三角形、圆形等，再到后来的各种准确测量和记录，“割圆术”和“勾股定理”的推广应用，这一切都奠定并建立了中国古代几何学的基础。
单纯地从一些书籍和文献来看中国的古代数学，会认为早期的中国古代数学中关于“数”和“形”的相关内容不够丰富，不够充实，没有形成基本的结构和框架，也没有连续性和系统性。带有这种想法和态度，就难以认识和体会到中国古代数学中“数”和“形”的广度与深度，也难以认识到早期中国古代数学所形成的体系和发挥的作用，因而对中国古代数学的历史地位和巨大贡献就认识不足。
中国文字起源于象形文字，数字也不例外，如，在“河图洛书”中，数用图来表示，图可以表示数。这说明数与形有时也没有完全区别。
二、中国古代数学内涵的非单一性
数和形的相关内容和内涵与古代人们的生活融为一体，不可分离。
在当时宗教与社会生产和生活紧密相联系的时期，许多东西的含义不是单一的，具有多方面的意义，也不具有排他性，共生共存。许多后来被人们提炼出来的具有数学意义的内容和抽象出来的具体数学表达形式，其实最开始出现的形态和内涵并非来源于数学本身。首先这些内容来源于古代人们对生活和生产的初步认识与总结，其次逐步上升到对事物内在联系的认知和世界观的形成。如“道生一、一生二、二生三、三生万物”，这是道家的哲学思想，一直影响着人们，至今仍是了解古代人们思维形成过程和思想进步的重要参照，它仍具有必然的历史意义和现实意义。从哲学层面来看，它反映出一种递增关系，是一种逐渐发展的过程;同时也是一种头尾相连相互依存与相互回应的内在关系，具有相互循环甚至等同的含义。从数学的角度来看，“一”和“万”，首先它是一个“数”的概念，而且反映出了在“量”上的差异，但它不只反映出数字上的大与小、多与少，同时也可用一个数学式子将两者联系在一起。因而，这种思想内涵既有哲学上的意义同时也具有数学意义。
三、一切人类文明结晶都是社会发展的必然产物，数学也不例外
每一个地域的古代文明，必然伴随着大量文明智慧的结晶，从而形成了各具特色、丰富多彩的文化形态，今天去看待和解读这些文明成果时，应具有一种开放的态度和全面的视角。
1974年陕西西安发掘出的秦始皇兵马俑，这是一个具有时代意义的发现，它将2000多年前世界上先进的成就、伟大的文明展现在人们面前。仅对一号坑进行统计，就挖掘出了6000多个铠甲俑，各种兵器、战车等物品加在一起，数目巨大。在2000多年前的秦朝，如何统计这些“数”，如何计算这些物品，必将是一件十分复杂而困难的事情，其中必将包含有数学计算和其他数学原理的内容。可以想象，若当时没有一系列有效的统计方法，没有一套较为准确的良好计算，今天人们就无法看到这个辉煌的成果，从单个的“数”到极其大量的“数量”。从数到数量，这是一个思维的形成和进步，这是一个质的突破，一个内涵上的飞跃。
单纯地从甲骨文中的简单数字，难以看到中国古代数学的全貌，其实从目前众多的文物和史料中，可以不断地丰富和发展人们对中国古代数学的认识，如：在成都金沙遗址中，可以看到3000多年前商周时期出土的众多精美玉器，其优美的曲线、曲面造型极具美感并具有数学意义。
四、文明特点及多样化表达，不影响中国古代数学的'成就
中华文明的特点之一就是在表达上的多样化，许多数学意义和思想隐藏在文字的表达里面，数学方法与计算方式就少有体现，在古代时期更是如此，如用兵马过万、率众人马、不计其数等文字记载，来反映数量的多少。容易造成现代人在认识中国古代数学时有种“模糊”的感觉，在与其他的地域文明相比较时，感觉那些时期的数学内容不够丰富，体系形成得不够完整与严谨，缺乏清晰和数字化的印象，其数学理论也没有得到有效的建立，因而削弱了中国古代数学在人们心中的地位。然而，从早期出现的文明史料“河图洛书”中可看到，尽管它不是专业性的源于数学的文明成果，但它确实具有十分丰富的数学内容以及表现形式，从某种意义上讲，今天在理解和研究“河图洛书”时，更应该去探索它在数学发展上的重要性，以及当初形成时的数学思想脉络以及思维发展的轨迹。这样才会揭开历史真相，还原古代人们的智慧光芒。就其现实意义来讲，它所蕴藏的数学内涵和思想是不可替代的，其历史地位不可低估。这种思想的起源及延续深刻地影响着人们的思维方向，为人类后来在数学领域中建立和发展出的幻方、数独和群论等数学学科起到了奠基的作用。中国最早的数学文献实物《算表》，利用乘法交换律原理，能够快速计算100以内的两个任意整数的乘积，还能够计算包含特殊分数“半”的两位数乘法，被认为是目前发现的最早的实用算具。《算表》产生的春秋战国时期是中国传统数学发展的一个高潮，而且为传统数学的第一个高潮提供了佐证。
五、早期形成的潜在数学思想和方法今天仍有意义
同样用秦始皇兵马俑来认识当时的“形”，战车车身的直线和立方体，车轮的圆弧线和圆柱体，在当时，这些物体的造“形”如此精美，铸造得如此细致，没有杰出的数学知识和方法是无法达到的。
兵马俑中关于马匹形状的造型，以及秦朝以前商周时期的各种青铜器的形状造型，只从某些局部就能看到那是一些复杂的曲面，早已不是平面几何所能解决的问题，用今天的立体几何来看，仍是十分复杂的图形，用解析几何来认识，将会是十分复杂的曲线方程和曲面方程。目前仍具有启迪和借鉴意义，也为后来中国在形的方面的突破奠定了基础。例如，在台北故宫博物院中，至今珍藏着清朝时期的众多物品，其中，一个用象牙制作的球图形雕刻十分精美，象牙球内外共计24层，各层均可旋转，且各层造型独特。
在数形结合方面也用得非常巧妙，例如勾股定理的证明，通过构造一个“弦图”来进行证明，就是数形转换的一个极好的例子。此外，在用数形结合的方法上用得也非常广泛，如，刘徽的“牟合方盖”模型。祖冲之在刘徽的基础上推导出球体体积的正确公式，并提出“幂势既同，则积不容异”的体积原理，即二立体等高处截面积均相等则二体体积相等的定理。
六、从社会整体角度来认识才会全面深刻
“数”和“形”的发展与中国古代社会发展同步，这个过程也体现出社会文明进步的过程。同时由于古代社会整体的生产力低下，人类的认知水平和智力发展的局限性，一切活动均是为了人类自身的简单生存而进行的生产和生活。在中国古代，不可能形成单独的数学学科，更不可能有意识地总结、提炼、归纳、综合那些涉及到数学的相关知识和内容。
从“数”和“形”开始的中国早期古代数学，在形成和发展过程中也伴随着数学理念和思想的形成发展，包裹在人们社会生活中的数学内容和方法，我们在认识中国古代数学时，不能简单孤立地从中抽离出来，在今天认识和解读时，必将回归到当时的环境和状态中，只有从古代整体社会和人们生活这一切入点，才能科学客观、全面深入地认识中国古代数学的成就和意义。
参考文献：
[1]研究发现中国最早数学文献实物《算表》[EB/OL].http：//www.chinanews.com/cul/2014/01-07/5707900.shtml
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