浅谈理解数学发现数学
数学与发现篇一：浅谈理解数学发现数学
理解数学发现数学
——新课程下初中数学小论文的指导与思考
摘要：新课程注重学生对知识的理解，对学生能力的培养、注重学生与社会生活之间的联系，撰写数学小论文就是一个很有效的方式。在撰写过程中，学生通过回顾自己所学的知识，发现生活中的数学问题，记叙自己理解知识的方式，寻找学习成功或失败的原因。从而加深了对知识的理解和应用，最终促进数学学习能力的培养。
关键词：数学小论文理解应用能力培养
为了激发学生学习数学的兴趣，培养学生探索精神，推进“数学家摇篮”工程建设，温州市连续三年举办了初中学生数学小论文比赛活动。引导学生写小论文，就是让学生在学会观察、学会小结、学会研究的过程中“再发现”，加深了学生对知识的理解，对思维方式的优化。如何指导学生撰写初中数学小论文，是摆在数学老师面前的新任务，下面我就结合自己的实践经验和参考他人的指导作品，对如何指导学生撰写初中数学小论文谈谈自己的一些见解。
1、数学小论文选材的途径
要撰写数学小论文，学生自然先会想写什么内容呢？所以选材是关键。通常，我们从以下几个方面来选取数学小论文的素材。
1.1从课堂学习中选材
课堂是学生学习数学知识的主要阵地。学生在课堂学习时经常会存有某种困惑疑问、精神上的迷茫，在学习之后又有某些新发现、新见解，我们可以指导学生学会捕捉课堂中的灵光闪现，学会捕捉自己的再发现、再拓展、再归纳，把它们及时的记录下来，在课后进行研究，把探究过程中的猜想、尝试、总结整理起来就是一篇小论文了。
也可以让学生记录自己对数学知识的理解或对某个章节整理后的感悟；对解法的选择，对解题思路的阐释，解题过程中运用的思想方法；表达对他人解题思路的看法，对他人解题方法的认可度，提出与他人不同的解题方法，或对他人学习数学某个知识点的建议意见等等。
比如可以让学生写以下内容的论文①由一道
垂足三角形题引发的思考；②小定义中的大智慧－－方差背后的奥妙；③周长和面积倍半图形存在性的研究；④探索圆的黄金分割；⑤对平行四边形判定的研究；⑥缘起“6174”之谜－－探究“数字黑洞”；⑦巧用一题论初中几何常见证法；⑧探讨多边形的稳定性；⑨巧作辅助线，妙解梯形题；⑩高手过招－－诡辩题中见数学严谨性等。
1.2从日常生活中选材
生活离不开数学,数学离不开生活。数学知识源于生活而最终服务于生活。可见数学与日常生活具有紧密的联系，是人们生活、工作和学习必不可少的工具，能够帮助人们更好的探索客观世界，寻找客观规律。比如：计算水电费、计算手机电话费问题、税款的交付问题、利润与成本的比较以及商业往来中的时间安排、人员分配、资金运用等问题，都与数学有关。它不仅包括数、式的运算，还包括推理、分析、判断、选择、估算、统计、绘制图表、数据分析、及空间与图形、优化方案等诸多方面，蕴涵着丰富的数学思想和方法。
因此，教师要培养学生树立数学生活化的观念。要指导学生善于发现，挖掘生活中的数学问题。比如与日常生活有关的素材有①手机收费“全球通88系列套餐”选择的分析；②“优惠酬宾”之最佳购买趣探；③小动作大作用－－谈改装后抽水马桶的节能；④车辆保险与最优方案；⑤安全疏散模型——数学在生活的应用；⑥体育运动与二次函数的亲密接触；⑦出操与数学；⑧饮用水的选择；⑨峰谷电合算不合算？⑩红绿灯的时间合理吗？等。
1.3从问题探究中选材
亚里士多德有句名言：“思维是从疑问和惊奇开始的。常有疑点，常有问题。才能常有思考，常有创新。”问题是科学研究的出发点，是探究式学习的起点，是开启任何一门科学的钥匙。科学史上的每次重大发现也都是从问题开始的，牛顿的万有引力是从“苹果为什么会落地”开始的。青霉素的发现是弗莱明从“霉菌菌落为什么周围不长细菌”这个问题开始的。在很多问题的解决过程中都得借助数学这门学科，数学可以有效地描述自然现象和社会现象。
教师可以指导学生选取日常生活中发现的、符合要求的问题进行探究，把它作为小论文的素材，既有利于培养学生的数学应用意识和探究能力，又有利于培养学生的社会责任感。比如可以让学生选取以下内容进行探究①探究使用煤气灶
的数学问题；②纸板“糊”纸盒问题的探究；③生活中的概率之探究；④教室日光灯应如何排列更合理；⑤怎样的装填使得纸箱的空间利用率高；⑥茶杯盖为什么是圆的？⑦探索网购的秘密；⑧探究黄鱼的价格；⑨探索测量楼高的方法；⑩探索博弈之谜等。
1.4从数学史料中选材
《新课标》指出：“在课外活动小组中，教师还可以向学生提供一些阅读材料，内容可以包括数学在生活中的应用，趣味数学、数学史和数学家的故事、扩展性知识等，用来拓宽学生的学习领域，激发学生学习数学的兴趣。”英国的科学家丹皮尔（W.C.Dampier）也说过：“再也没有什么比科学思想发展的故事更有魅力了。”数学史涉及的内容比较丰富，资料浩瀚，年代久远。它不仅是单纯的数学成就的历史记录，也是数学家克服困难和战胜危机的斗争记录。无理数的发现，勾股定理的证明，方程函数的发展等，在数学史上数不胜数，它们可以帮助学生了解数学创造的真实过程，而这种过程在书本中只是以定理公式的形式出现。
因此在教学中学到相关章节时，教师提供主题——学生分组收集资料——课堂交流。交流材料就可以整理起来成为小论文。比如①勾股定理新发现；②关于作费马点的思考；③斯特瓦尔定理引伸；④有趣德谢尔宾斯基地毯；⑤圆周率的历史；⑥正负数和无理数的历史；⑦函数概念的起源、发展与演变；⑧美丽的黄金分割；⑨哥尼斯堡七桥问题；⑩古希腊和中国的割圆术等。
2、数学小论文的步骤
除了选材之外，其他环节也比较重要，我把指导的过程分为五个步骤进行：“选材——研究——撰写——修改——定稿”。
选材，就是选取小论文的素材，指导学生学会捕捉课堂上的再发现、再拓展、再归纳，学会从日常生活中、从问题探究中、从数学史料中收集素材；研究，学生根据自己的学习情况选择各自的数学小论文的素材，猜想、尝试、探究；撰写，就是将自己的研究过程记录下来，写成一篇小论文；修改，把自己写好的小论文经过教师的指导或与同学之间互相交流、合作、讨论或自己再探讨再修正，不断提升数学小论文的科学性、可读性、严谨性。这里指的修改不是语文作文的修改，它不仅要着眼于写字、词汇表达、文章结构，更要着重于对数学问题的再发现、
再尝试、再探究；定稿，把撰写的小论文在全班面前展示，看是否还存有争议，并最终确定下来。
3、数学小论文的类型
经过近两年的研究实践，我觉得可以把学生写的数学小论文分为以下几种类型。
3.1问题探究型
问题探究型小论文，就是学生从社会现象、日常生活中选取存有疑惑的，有意义的问题进行探究并最终解决了实际问题，把自主探索过程中步骤、方法、结果以论文的形式记录下来。如王亦尘同学撰写的《使用煤气灶的数学问题》摘要（选自《学生时代》）：
实验目的：（1）煤气耗量与煤气灶电子打火开关旋钮的开度有无定量关系，是何
种关系。
（2）旋钮通常在什么开度下，煤气耗量最省。
（3）如何正确使用煤气灶。
实验器具：煤气表、煤气灶、烧锅、量水瓶、秒表、温度计、温度计支架操作过程：（1）锅灶预热。在锅中假如适量自来水，烧开后倒净。
（2）将水倒入锅中，读取并记录煤气表读数，点燃煤气到某开度按下秒表。
（3）水温到100℃停止加热，按停秒表，记录煤气表读数和加热时间。
（4）开度依次增加15°，重复步骤（2）（3）
实验结论：
（1）在相同条件下煮沸相同量的水，煤气耗量与煤气点火旋钮开度有确定的定量关系。当旋钮开度为105°时，烧开1650毫升的水所耗用的煤气量最多17升；此时煤气流量也最大为0.06升/秒。
（2）实验表明，30°～45°和135°～150°煤气耗量最少，是最佳开度。
（3）实验表明，在相同条件下煮开1650毫升的水，煤气耗量的最大值比最小值多9升，比相对应的9次实验耗量煤气的平均值（约11.2升）多约80%，由此可见，减小煤气流量，适当延长加热时间，可以收到显著的节气效果。
3.2方法罗列型
方法罗列型小论文，就是学生把自己在数学学习中自己想到的，从他人身上
学到的各种解题思路、解题方法，或各种题目类型一一罗列出来，供大家参考与探讨。如郑铮同学撰写的《勾股之妙——探究证明勾股定理的几种方法》摘要：
数学家赵爽的证明方法（图1
）：c2=（b-a）2+4×1/2ab即a2+b2=c2；面积法1（图2）：4×1/2ab+c=(a+b)即a+b=c；
面积法2（图3）：(a+b)2÷2=2×1/2ab+1/2c2即a2+b2=c2；
面积法3（图4）：甲的面积＝乙的面积＋丙的面积，即c2＝a2＋b222222
面积法4（图5）：SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，即c2=a2+b2．
相加全等法（图6）:边长为b的正方形面积+边长为a的正方形=边长为c的正方形的面积，即a2+b2=c2
相减全等法(图7)：S区域1+S区域2+S区域3=S区域4+S区域5+S区域6即c2-b2=a2相似法（图8）：∵c/b=b/m，c/a=a/n,∴cm=b2cn=a2即a2+b2=c2
3.3总结反思型
总结反思型小论文，就是学生在学习了一些知识之后对其题目特征、解题思路、解题途径等方面进行总结并反思，产生自己独特的见解，优化的思想方法，并最终对知识进行再次建构。如刘露露同学撰写的《小小的整理大大的收获》摘要：
有理数的加法要点：①：同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。②：异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③：互为相反数的两数相加其和为零。④：一个数同零相加，仍得这个数。
数学与发现篇二：数学探究与发现方法
第一章数学探究与发现方法
第一观察与联想
第二节：
看一看??实验??想一想?试一试（特殊）?
一．实验的含义
二．实验的作用：
①有利于发现结论
②把抽象问题化为形象的
③有助于解题
三．应用举例
1?1.x2?ax?1?0对x???0,?恒成立，则a的最小值是（）?2?
A.?3B.?C.?2D.?1
2.求方程xy?3x?5y?3的正整数解
3.设x?R且x2?3x?1?0试确定x2?x?2(n?N?)的个位数字
4.设a,b,c,d均为正整数，且a?b?c?d,???1
a1b1c1?1，求a,b,c,d的值dnn52
5.将1到9这九个数字分别填在九格图中，每格填一个数字，要求每一行，每一列和两条对角线上的数字之和均等于15
第三节：类比
一．类比的含义
二．类比的应用
1.有助于发现新的命题
2.有助于探索解题思路
3.有助于掌握知识
三．类比的方法
1.低维与高维的类比
2.数与形的类比
3.一般与特殊的类比
4.有限与无限的类比
四．应用举例
1.由勾股定理引起的联想，并判断猜想的正误
2.试将余弦定理推广到三维情形
3.已知a,b,c均为正数，且a2?b2?c2，求证：an?bn?cn(n?3且n?N)
4.（1）平面中直线方程与空间中平面方程的类比
（2）平面中与空间中两点间距离公式的类比
（3）平面中点到直线的距离公式与空间中点到直线的距离公式的类比
（4）三角形面积公式与扇形面积公式的类比
（5）圆心方程与球面方程的类比
（6）S圆与S圆内接正n边形的类比
5.由“在同一个三角形中，任意两边之和大于第三边”引起联想
6.由“ha?hb?hc?a?b?c，其中ha,hb,hc分别是三角形三边上的高”
提出猜想并判断正误
7.数列?an?中，a1?,a?n1?an?1(n?2)求an的通项公式1?an?1
第四节：特殊化
一．特殊化的含义
二．特殊化的作用与局限性
三．应用举例
1.（1）对弈故事（2）取棋子游戏
2.设等式a(x?a)?a(y?a)?x?a?y?a在实数范围内成立，其中
3x2?xy?y2的值是（）a,x,y是两两不等的实数，则22x?xy?y
A.15B.3C.2D.33
3.设m,n为任意实数，试在平面上找出这样的点，它位于方程x2?y2?2mx?2ny?4(m?n?2)?0所表示的.曲线系的每一曲线上4.a,b,c为ΔABC的三边，且cn?an?bn(n?N且n?2)，试判断ΔABC的形状
5.证明：f(x)?
该常数
6.y??x2?2ax(0?x?1)的最大值为a2，则a的取值范围为（）
A.?0,1?B.?0,2?C.??2,0?D.??1,0?(x?a)(x?b)(x?b)(x?c)(x?c)(x?a)恒为常数，并求出??(b?c)(c?a)(c?a)(a?b)(a?b)(b?c)?
第五节：一般化方法（构造n）
一．一般化方法的含义
二．一般化方法的作用：
帮助解题，扩大解题成果
三．一般化与特殊化的关系
四．一般化方法的应用
1.比较大小
（1）9991997与1997!
（2）20092010与20102009
2.20022002?2003?2002?20032003?__________3.2004?2003?2002?2001?1?__________
4.求证：4?62009?52009?4能被5整除
5.证明：2009可以表示成两个数的平方差
6.解方程x2?10x?80?x2?103x?80?20
第六节：化归
一．化归的基本思想：
它是简化和归结的简称，即将待解决的问题A通过某种手段，转化归结为另一个问题B，而B是相对较容易解决的问题或已有固定解决程式的问题。通过B的解决从而可得到A的解决。
二．应用举例
1.帽子游戏，曹冲称象，司马光砸缸
2.“三人行必有吾师”，100人行，吾师至少有几人？
3.100人参加乒乓球淘汰赛，选出一位冠军，需要打多少场比赛？
4.边长为2的正方形内，任意放置五个点，求证：其中必存在两个点，它们之间的距离不大于2
5.写出数列1,11,111,1111?????的一个通项公式
6.在数列?an?中a1?1,an?1?3an?4求通项an
第七节：化归应遵循的原则（和谐统一原则）一．
1.化归目标简单化原则
2.和谐统一性原则
3.具体化原则
4.低层次化原则
5.标准形式化原则
二．应用举例
1.解方程e3x?e?3x?ex?e?x?28x3?0
2.在ΔABC中，若sinA?sinB，则一定有a?b吗？
3.比较大小
（１）230与320（２）68与86（３）0.80.3与0.60.7４.设x,y?R，且x?y?2，求f(x,y)?x2?y2?x2?y2?4x?4y?8的最小值
数学与发现篇三：从生活中发现数学
从生活中发现数学
天台岗小学杨华璐没有生活做中心的教育是死的教育，没有生活做中心的学校是死的学校，没有生活做中心的书本是死的书本。陶行知的观点让我们同时联想到了生活与数学学习的联系，只有让学生联系生活去感受数学、学习数学、应用数学，用数学的眼光去看待生活，才能让学生真正体会到数学就在他们身边，体会到数学的魅力无边。
数学源于生活，数学植根于生活，生活中处处有数学，数学蕴藏在生活中的每个角落。以生活实践为依托，将生活经验数学化。是解决生活问题的钥匙，数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具。因此，数学都能在生活中找到其产生的踪迹。
一、数学源于生活
引导学生从生活中发现数学问题，理解数学和感受数学，都是数学源于生活的具体化。
1、在备课时，都会创设一定的情景
数学教师在设计当天的备课内容时，都会创设一定的生活情景引入课题。所以，我们在设计备课教案时必须融入生活的元素，例如：在教授百分数的意义时，我看到黄爱华老师利用的就是自己喝酒的例子，有三种酒：白酒酒精度58%，啤酒酒精度3.1%，绍兴黄酒的酒精度38%。如果黄老师不想在这次应酬中喝醉，那么应该选择什么样的就来喝？
这样的问题贴近学生的生活实际，学生容易回答，个个跃跃欲试，急于表达。一开课，就让学生体会到了数学的价值与魅力。
2、从创设情景中适时提出关键问题，并适时作出总结
数学的一个重要特点是具有抽象性。而数学内容的抽象性又是通过学生对生活内容经过提炼后最终形成的，一些抽象的数学知识都可以在生活中找到原型，所以从生活中学习数学更容易使学生接受和理解。例如，刚才的这类问题孩子们肯定从生活中有很多的经验可以说明：
生：从这些百分数中很容易比较出白酒酒精的含量比较高的。因为百分数的分母都是100，只要比较这三个百分数的分子就可以了。
生：我认为百分数最大的好处就是，它们的分母都是100，便于比较。
从而老师立即问出：这个52%的分母100表示什么，分子52又表示什么呢？
生：分母100表示100毫升。
生：不对！一瓶酒通常是500毫升。分母100表示把泸州老窖酒的总数量看成100份，分子52表示其中的纯酒精占52份，这样更容易理解。
之后老师总结：我赞成这位同学的看法。我们把不同的三种酒都看成100份，来比较每种酒中纯酒精占多少份，就很容易比较哪种酒比较厉害。同学们注意观察，在生活中，每种酒的标签上都标有表示这种酒的酒精度的百分数。这时，从一问一总结的情景下，孩子们对百分数的意义也有了大致的了解。
二、数学植根于生活
生活是最好的老师，当我们的思想遇到阻碍，无法前进时，生活的经验常常给我们以指引，让我们有柳暗花明又一村的感觉。数学学习也是这样，例如：在教学《小数的基本性质》时，有这样一个片段：
师：（板书0.1与0.10两个小数）这两个小数看上去有什么相同与不同的地方？生1：两个小数的整数部分和小数部分的十分位都相同。
生2：0.10比0.1后面多了一个0。
生3：0.1比0.10后面少了一个0。
师：这两个小数形式上很相似，他们的大小有什么关系呢？猜猜看？
生4：一样大。
生5：0.10大。
师：光猜想不说理由有时是很不可靠的。现在，有着相同观点的同学可以组织在一起想办法验证一下你的观点，如果你有充分理由认为你的观点是正确的，再想办法说服与你观点不同的同学。
小组1代表：我们是这样想的，0.1元是1角钱，0.10元是10分钱，也是1角钱，0.1元和0.10元相等，0.1与0.10也应该是一样大的。
小组2代表：0.1米是1分米，0.10米也是1分米，它们相等。（小组成员补充：也就是0.10与0.1相等）
小组3代表：原来我们认为10比1大，0.10就应该比0.1大，后来我们画了图知道了十个小格和一个大格是一样大的。0.10与0.1一样大。
0.1和0.10为什么是一样大的？我们可以借助小数的意义用分数的知识来说明（即小组3的观点），但是小组1和小组2的同学借助生活中0.1元等于0.10元，0.1米等于0.10米的经验来说明，更容易触活小学生具体形象性特征的思维细胞，让学生容易理解接受，生活让数学学习不再高深莫测。
三、生活中处处有数学
在生活中我们有很多的问题都需要用数学知识去解决，比如我们常见的商场打折问题，公园门票问题，打出租车问题等在数学的各类解决问题中都有这样的内容，很多都是要靠学生的生活经历来加以思考过程的，例如
：公园只售两种门票：个人票每张5元，10人一张的团体票每张30元，购买5张以上团体票者可优惠10/100。我们有37人去公园游玩，按以上规定买票，你认为怎样买最合算？这样的题目可能会想出多种方法：
方法1：按每张5元购买，要花5×37=185元；
方法2：采用买3张团体票，再买7张个人票，一共要花3×30＋5×7=125(元);方法3：买4张团体票，只花30×4=120(元);
方法4：买票时请3位其他游客参与我们来一起买团体票，然后让他们各自出3元钱，我们只花30×4－3×3=111(元);
方法5：邀请13位其他游客参与我们来一起买票，我班只花30×5×9/10－3×13×9/10≈100(元)，这样我们合算，他们13位游客也合算。
所以，我们教师在教学中仍然要强调要让学生多接触生活中的点点滴滴，要让学生在家长的陪同下，多接触平时家里的开支，和买东西、卖东西的过程。而我在对于自己教学的班级也明确提出了要让学生接触更多生活实践的问题，比如：让孩子陪同家长一起去超市购买东西，让孩子和家长一起外出旅行计算开支，让孩子清楚明白家里一个月的水、电、气的用量，从而计算开支的问题。在这样的总总措施下，学生对于自己身边经历过的数学问题在以后的学习中也有所顿悟。当然再来，我认为让学生记录数学日记也是一种不错的想法。例如，学生在面对自己所遇到的数学问题，通过记录日记的方式把它记录下来，并且加以自己的一些想法，还可以记录下一些从家长和老师询问后的结果，这样能够帮助学生更好的理解数学问题，印象应该比老师在课堂上讲的内容会更为深刻。
所以，生活是数学的源泉，离开了生活，数学就如同水失去了源泉一般，更如同水失去了动力一般，最终变成一潭死水。只有在基于生活的基础上的学习和运动数学，才能使它焕发生机，长出更多更新的枝叶，开出更美丽的数学之花！
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