名师授课案例对数学活动经验教学的启示教育论文
[摘要]学生数学活动经验对于学生数学活动的顺利探究、数学思想方法的领悟、数学观念的形成等方面有着十分重要的作用。教师充分信任学生，构建适度“放手的”课堂教学，为学生创设蕴含与教学活动任务一致的、蕴含多样活动的“情境串”。保证数学活动任务的挑战性，正确处理思维与操作的联系，及时激活、探究、体验、反思、总结和提升学生的数学活动经验并运用多媒体教学等现代教育技术手段为学生提供足够的“替代性经验”，将有助于学生获得较为充足的数学活动经验。
[关键词]课堂教学；数学活动经验；名师授课案例
学生数学活动经验对于数学活动的顺利探究、数学思想方法的领悟、学生数学观念的形成等有着十分重要的作用。储备充足的数学活动经验是学生学好数学、提高数学素养的重要基础。研究学生数学活动经验的教学，必然离不开对教学实践中优秀教师成功授课案例中的宝贵经验的学习、概括、总结和提升。因此，本文将从名师成功授课案例的视角探究其对数学活动经验教学的启示。
为选择具有较大的知名度和影响力的名师成功授课案例，本文选择“全国第八届深化小学数学教学改革观摩交流会”参赛课例中获得一等奖的一堂课进行探讨，以期达到抛砖引玉的目的。
一、案例：“圆的面积”一课教学过程简介
为便于分析，本文仅介绍“圆的面积”一课教学过程中学生探究面积公式的教学概况。
本节课共设计八个主要教学环节：课前谈话，从对“曹冲称象”故事的思考引入，激发学生思考并体会解决大象的重量问题“转化”为解决石头的重量问题中的转化思想和转化方法，以熟悉的故事激活学生旧有的“转化”经验；回忆已经学过的探索“平行四边形的面积”的计算公式的方法，是把平行四边形剪成梯形和三角形后再拼成长方形，用长方形面积计算公式表示平行四边形的面积计算公式，再次激活了学生已存在的数学活动经验中的“转化”思想和用剪、拼等方式进行转化的方法，学生自然联想到可以尝试用“剪、拼、转化”求圆的面积；学生进行剪、拼等操作活动进行探究、思考求圆的面积；交流各自的探索过程，讨论初步探索后的思考，总结形成初步解决问题的思路；分组按照各组选择的思路进行深入探究，形成问题解决的最终思路和方法；反思探索的历程，结合数学课件动态地替代演示当分的份数越大时用剪、拼的方法却越来越难操作的“变”的过程，探索用数学公式表示圆的面积；自主联系，运用圆面积公式解决实际问题；小结，学生谈体会，体会到“我知道在遇到一个我们不认识的图形的时候，可以通过剪一剪，拼一拼的转化方法把它转化成我们熟悉的图形。”“以后遇到不熟悉的问题，也可尝试能不能把它转化成学过的问题来解决”。
二、对案例“圆的面积”一课教学的点评
通过所描述的教学环节来看，“圆的面积”一课的教学是一堂教师引导为辅、学生主动探究为主的“数学活动的教学”课。其中学生用折一折、剪一剪、拼一拼等外显的手段探索，“再创造”“圆的面积”计算公式等行动是外显的数学活动，学生体验、反思、运用数学思想(“转化”“逼近”“极限”等)、自我建构圆的面积公式等活动是内隐的数学活动。外显的活动与内隐的活动相互交织构成了学生掌握该课知识、获得数学活动经验的基本途径。在这相互交织的过程中，学生的活动表现出了两种平行的探究思路。
一种是将圆剪成n个“像”小三角形的小图形，分的份数n越大，“像小三角形的小图形”就越来越像三角形。这时，求“圆的面积”就转化成求“n个小三角形的面积的和”。即：如果用C表示圆的周长，用r表示圆形半径，当圆被平均分成n等份时，小三角形的底就“等于”圆的周长除以n，小三角形的高就“等于”这个圆的半径，用三角形的面积乘以n，就得到圆的面积。
另一种思路是，学生将圆转化成长方形。首先，将圆剪成n个小扇形，再把这n个小扇形拼成一个大的平行四边形，分的份数n越大，平行四边形就越来越接近长方形，这时，求“圆的面积”转化成求“长方形的面积”：长方形的长就是圆周长的一半，可以用πr来表示，那长方形的宽相当于圆的半径可以用r表示，长方形的面积等于长乘以宽，圆的面积就可以表示为πr2。
学生在分别沿着这两种探究思路进行的活动过程中，积累了大量的如何选择、判断、猜想、验证、归纳、交流、发展、应用已有知识经验解决数学问题的认识经验、选择经验、判断经验、猜想经验、验证经验、归纳经验、交流经验、发展经验、协调经验、问题解决经验等数学活动经验，理解各操作对象与数学对象的数学意义及其之间的前后逻辑关系，领悟到转化、逼近、极限等数学思想方法与数学策略，获得丰富的数学情感体验和感受。积累充足的数学活动经验。
三、“圆的面积”一课对数学活动经验教学的启示
从本堂课的教学过程可以看出，本案例突出了学生“在各种活动中观察与体验、在观察与体验中活动”的数学活动式的教学。教师在有效激发学生已有的数学活动经验“折、剪、拼、转化”的基础上，通过组织学生进行折、剪、拼、反思、总结、推导、应用等活动，借助现代教育技术手段在情境创设中的重要作用，用课件动态展示变化的过程，让学生经历了探索圆面积计算公式的探索、猜想、推理与验证的全过程，使学生在活动中体验、积累、及时反思总结，尊重了学生真实的探索、感受和收获。因此，本节课的教学除了具有一般数学课堂教学“双基教学”的普遍特点之外，它在促进学生获得数学活动经验的教学方面至少还具有以下六方面的显著特点和教学启示。
(一)充分信任学生，注重学生的个性差异，构建适度“放手的”课堂教学
本案例中，教师构建的“信任”和“放手”的课堂为“知识的接受者”转变为“知识的探究者”提供了可能，为“圆的面积”的纯知识性的教学转变为“学生探究圆的面积”活动式教学、学生“再创造”数学知识的预期目标的实现提供了基本保障。在此，充分信任学生是相信学生而敢于放手和敢于托付，是教师在教学过程中实实在在表现出来的、学生能切实感受到自己有能力、有责任、有义务做好教师交付的任务的一种心理状态和环境氛围。信任也是一种了解和理解，如果没有教师对学生已有知识经验基础的了解(已学过圆的周长、平行四边形面积、三角形面积公式等)，没有对学生学习过程中出现的困惑的理解，就不会出现教师对学生已有知识经验的唤起(“曹冲称象”故事中的转化思想，求平行四边形面积的剪拼式的转化思想)，就不会出现教师适时的引导和提供课件演示的技术支撑。当然，适度“放手的”课堂，不是放纵的课堂。而是教师把学习的主动权、知识的“再创造”权适当地放一放，留给学生自己去把握。从而，本堂课中才有了教师给予学生足够的时间、充分放手让学生去探索圆的面积计算公式的“放手的课堂教学”的“现实”，才有了学生课堂中出现的两种探究思路和研究成果，才有了学生获得丰富数学活动经验目标的实现。
(二)“情境串”蕴含了多样的“活动串”，但蕴含的数学活动任务都一致
本案例中，教师呈现的数学活动任务及任务情境首先是从学生头脑中已存在的非数学的经验情境(故事情境)开始，然后过渡到已有的数学经验情境(平行四边形的面积)，再从已有的数学经验情境转入到即将要求解的数学问题情境(求圆的面积)。这一连续的从非数学情境到数学情境、从学生熟悉的数学情境到不熟悉的数学情境构成的看似较为涣散的“情境串”中蕴含了要求学生去回忆、思考、猜想、探究等活动构成的“活动串”，而所有的“活动串”中的活动实质上都与本课例中要求学生经历圆面积计算公式的探索过程和积累数学活动经验的数学任务完全一致，做到了“形散而神不散”。本课例中一系列的从具体到抽象、从感官参与到思维对符号的参与转化的层级演变过程的“情境串”设计，符合学生的认知发展规律，也启示了数学活动经验中教学提供的数学活动应该尽可能遵从学生“已有经验——到直接经验——再过渡到经验的符号性表象”经验的获得过程。
(三)教师淡化了生活情境，突出了数学情境，数学任务简洁干练
上课伊始，教师就出示圆形纸片，直接点明课题“我们已经学习了圆，也认识了圆的周长，今天这节课我们就一起来学习圆的面积”，并向学生明确提出“每个小组从两种思路(转化成三角形或者平行四边形)中选择一种继续研究”等要求，既让学生迅速明白学习活动的主题，又让学生感受到自己课堂中所作的探究活动得到了教师的肯定，体会到被承认的快乐，感受到主动活动的价值。这种开门见山、简洁明晰的数学任务方式和数学活动情境。有助于学生集中注意力探究新课题。当然，简洁明晰的数学任务并不等于直接呈现抽象的、枯燥的数学符号式的数学任务。比如，在本堂课中学生的折、剪、拼等数学活动任务虽然简洁明了，但是却是学生能感知、能把握、能控制、能充分发挥想象力、能够相互合作、相互交流的数学任务，学生在这些看似简单的探索活动中能够集中注意力，在不知不觉地“再创造”了“圆的面积计算公式”的产生过程，实现了课堂教学的目标。因此，教师采取的单刀直入的引入方式，既为学生自主、合作的探究活动赢得了宝贵的课堂教学时间，也为学生回顾、反思数学活动获得数学活动经验提供了时间保障。
(四)保证数学活动任务的挑战性
学生在面对教师提出的“圆能否转化成我们学过的图形”问题时，并不知道该怎么转化，这时，急于求成的学生十分渴望教师给与一定的提示或者暗示。此时，如果教师给予一定的提示，比如转化成扇形、三角形或者平行四边形等，那么学生随后的折纸、剪拼等活动就不再是真正意义上的探索了，最多只是一种技术层面的验证。但是，本课例中教师没有这样做，相反却给予学生一定的时间自己去折、剪、拼、观察、反思和总结，让学生自己进行想象和探索；在学生操作遇到困难，不能继续折下去和剪拼下去的时候，教师的行动也仅仅是在小组间巡视，及时发现学生出现的新问题和新发现，及时肯定学生的探索成果，保证了数学活动任务的挑战性……本堂课的种种事实证明，只要教师相信学生能做好，学生就一定能做得更好。果然，没过几分钟。学生们就有了初步的解决问题的想法：转化成三角形或者平行四边形。这样就保证学生从探索“圆的面积计算公式”的数学活动的全过程中获得充足的数学活动经验的机会。
(五)注重思维训练、数学思想与方法的体会和领悟，正确处理思维与操作的联系
小学生的思维水平，决定了他们对很多数学知识的`学习离不开具体的操作。当学生在具体操作的基础上获得了直观的活动经验之后，数学思考、数学发现和数学想象才有了可能。因此，操作活动仅仅是思维活动的中介平台，学生进行操作活动的目的之一是为了能够进行进一步的脱离实物控制的抽象的思考和想象，其根本目的是在于让学生能够从数学现象、数学活动及其之间的关系中提炼出核心的数学内容，获得数学活动经验。因此，教师评价学生操作活动是否是数学的活动、能否获得充足的数学活动经验，还需考察学生能否用抽象的数字、字母、示意图和符号等工具对具体操作的对象进行数学化的处理，进行想象、分析、判断和推理，明确探究过程中活动之间的因果关系。例如，本课例中，学生通过折、剪、拼等活动，似乎已经发现了圆面积的具体过程，问题的解决看似已经完成，但教师却不是就此止步，而是接着用一系列的语言提示引导学生进行积极的思维，注重思维训练和概括。比如“怎样能让转化后的图形与三角形(平行四边形)更接近”“数学的学习，可不能只停留在动手操作上，你还得会利用数字、字母、符号动脑思考和推理，教师想给大家提个更高的要求，能不能在刚才研究的基础上推导出圆的面积计算公式?”等几个紧密联系却又层层递进的数学任务的提出，不仅肯定了学生已经探究的一系列活动，而且激发了学生进一步思考的兴趣，引发学生注重理解操作活动与思维训练的关系，注重对具体活动中蕴含的数学思想、数学方法的体会和领悟，促进了学生浅层次的具体操作活动经验向高层次的抽象数学活动经验转化。
(六)让学生经历活动的全过程，及时激活、总结和提升学生的数学活动经验
有效的探究是指在新情境下运用已有的知识经验来成功处理新信息和新问题的活动。如何引导学生主动地从已有的认知图式中“提取”出经验，激活相关的知识经验，而不是教师直接提供探究的思路和操作的方法是一种教学艺术。在本课例的教学中，教师的课前谈话以及“圆能否转化成我们学过的图形”都暗示了学生怎么思考的策略，及时激活了学生已有的知识经验，尤其是关于求平行四边形面积的活动经验“剪一剪、拼一拼”的方法，为学生有效的探究指引了方向。学生在具体的探究过程中，通过经历三个层次的探究活动把数学知识的学习变成了数学活动的学习。例如，第一次的折一折、剪一剪、拼一拼的直观操作活动为学生成功的发现圆面积的计算公式找到了思路：把圆转化成三角形或者平行四边形。在此，教师及时引导学生对所经历的活动进行演示、交流、反思和总结，体会圆面积问题求解的实质是运用“转化”的数学思想，实现操作活动的数学化。明确进一步探究活动的方向，巩固了这一阶段的活动经验。第二次探究活动的任务是围绕着“怎样使折出的图形更像三角形”“使剪拼后的图形更像平行四边形”等问题开展操作、想象活动，充分体验“化曲为直”、逐步逼近的“极限思想”，当学生通过观察课件演示得出“就是”三角形或者平行四边形时，学生对如何求解圆面积的问题有了直观性的活动经验，教师再一次引领学生对这一活动过程的经验和收获进行了回顾、反思与总结。随后，教师组织学生运用第二阶段获得的直观、形象的数学活动经验，解决教师提供的示意图上的用数字、图形表示出来的“纯粹”的数学问题，并用符号表示出来。紧接着老师又组织学生对推导出的圆面积计算公式进行分析，思考“要想求圆的面积，必须得知道什么条件”，解答实际问题，再一次提升了学生的数学活动经验。
(七)充分利用多媒体教学等现代教育技术手段，提供“替代性经验”
现代教育手段的运用一方面吸引了学生积极参与数学活动的兴趣，另一方面也给学生提供了接近生活的原型情境，补充了因现实场景缺失或者因手工操作有难度而不能获得的直接经验的替代性经验，完善了学生的经验体系。本课例中，学生把圆按照先后顺序分别分成16份、32份、64份……分的份数渐多，学生感到手工操作越来越难，以致于后来只能凭借想像份数分得越多时分成的每一份小扇形就越来越像“小三角形”。而真实的数学活动结果是不是这样的?此时教师恰到好处地在学生似乎能想象却又不敢肯定的情况下，利用课件形象直观地演示“化曲为直”的动态变化过程。学生在观察课件展示的动态的过程中获得了生动的“观察经验”等替代性经验，一致得出了“就是小三角形”的结论，验证了想象的结果，满足心理需求，获得极大的情感体验。这种观察性的替代性经验和情感体验弥补了直接经验的不足，充实了学生数学活动经验的具体内容。
本课例对促进学生获得数学活动经验的教学启示均指向于教师围绕“学生的数学活动本身、参与数学活动的学生个体和群体及其之间的关系、提供和组织学生进行数学活动的教师以及数学活动环境、班级文化氛围”等方面，均以激发学生学习积极性，增加学生数学活动机会，促进学生主动参与积极参与到数学活动中去经历、体验、积累数学活动经验，实现数学活动经验充分的积累为根本宗旨。其结果相互印证，互为补充，为促进学生获得数学活动经验的教学提供了坚实的实践基础。
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