数学变式图形题目探究性学习论文
课本中的习题都是经过编者的深思熟虑、反复斟酌而精心设计的，研究和运用好教材中的习题变式训练，不但有利于学生思维的提高，而且往往还会收到知一题而通一类的教学效果。笔者在学校“数学兴趣小组”教学辅导过程中，通过充分的利用数学教材中的习题资源，引导学生大胆猜象，有效地变换题目条件，积极探索习题中的“变式图形”,得到了意想不到的数学效果。下面以北师大版九年级 （ 上 ） 联系拓广 （P25） 中的题目为例，体验课本习题广阔的探索空间和内在的无穷魅力。
题目 1:正方形 ABCD 的对角线相交于点 O, 正方形 A1B1C1O 与正方形 ABCD 的边长相等，在正方形 A1B1C1O 绕点 O 旋转过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形 ABCD 的面积有什么关系？请证明你的结论。
解析：在旋转过程中有△ AOE ≌△ BOF,
所以S四边形 OEBF= S△ BOE+S△ BOF
= S△BOE+S△AOE=S△AOB= 1/4 S正方形ABCD.
即得到结论：重叠部分的面积为原正方形 ABCD 面积的四分之一 （ 定值 ）。
点评：此题如果仅限于上题结论，对学生探索能力的培养意义不大，教师此时应趁学生的探索热情，引导学生进行如下探索：
一、题目变式的探索
（ 一 ） 题目结论的引伸探索
1. 在原题目中，猜想 OE 与 OF 有何数量关系，并证明你的猜想。
答：OE = OF.
2. 在 原 题 目 中， 当 正 方 形 A1B1C1O 绕 点 O 转 动 到 正 方 形A1B1C1O 的边 OA1、 OC1 与正方形 ABCD 的边分别交于点 E、F,猜想线段 BE、BF、AB 之间有怎样的数量关系？并证明你的猜想。
答：BE + BF = AB
3. 在原题目中，当正方形 A1B1C1O 绕点O转动到任意位置时，正方形 ABCD 的边被正方形 A1B1C1O 覆盖部分的总长度与 OB 又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想不证明。
答 : 被覆盖部分的总长度 BE + BF =√2OB
评析：
本题形成上述结论的实质是：OA1、OC1是经过正方形 ABCD的对称中心且互相垂直的两条直线 , 正方形的大小以及是否是正方形都是非本质的。只要抓住了问题的本质 , 就可以将其改编为若干丰富多彩的新命题。
（ 二 ） 题目条件的变式探索
若将上述两个正方形的边长相等改变为边长不相等，探索有什么结果？
解析：过 O 作 ON ⊥ AB,OM ⊥ BC,垂足分别为 N、M, 若正方形 ABCD 的边长为 a,正方形 A1B1C1O 的边长为 b,在旋转过程中易发现当 b 大于或等于 a/2 时，上述结论恒成立，当 b 小于 a/2 时，图中重叠部分的面积均为 b2.
图形变换不仅是一题多变的一种手段，而且作为探索解题思路、发现解题方法的一种手段，因此在几何教学中，教师不仅要善于引导学生进行“图形变式”的训练，而且还要让学生在自主探索或合作交流中获得探索新知的乐趣。
二、题目变式后的应用
题目 1:把正方形 ABCD 绕着点 A,按顺时针方向旋转得到正方形 AEFG,边 FG 与 BC 交于点 H,（1） 若设正方形 ABCD 的边长为 3,且旋转角为 300时，HB 的长为多少。（2） 试问线段 HG 与线段 HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想。（4） 若正方形的边长为 2cm,重叠部分 （ 四边形 ABHG） 的面积为 43/3cm2,求旋转的角度 n.
评析：
此题的设计是将题目的旋转点作为正方形的一个顶点 , 旋转后的图形具备上述探索题目的'基本特征。体现了从特殊到一般，从静态到动态的图形变式演变，符合学生的认知规律，能使学生较好地掌握图形“旋转变式”中的变量与不变量，培养了学生思考问题和解决问题的能力。
三、题目探究性学习后的反思
从“题目”情境设置来看，它以学生熟悉的两个边长相等的正方形在某一定点上旋转为载体，让学生在多元化的操作过程中体验数学问题的演变过程，符合学生从特殊到一般，从静态到动态的图形变式认知规律，能使学生较好地掌握“图形旋转变式”中的变量与不变量，深刻感悟数学教学中的思想方法，如果教师在教学过程中能创造性地用好“图形变式”后的这些题目，它不仅具有良好的导向作用，而且对学生的思维及探索精神的培养具有重要的意义。
从“题目”探究性学习方法来看 , 教师要立足教材，充分利用教材中的习题素材，在学生思维的最近发展区确定教学的起点，把教材上的习题知识点设计成需要学生探索的问题，引导学生进行探索性学习活动，通过教师对“题目”变式训练的“导”,诱发学生对“题目”变式后的“探”,学生才能真正参与到观察、分析、综合、概括等再发现、再创造的思维活动中 , 才能激发学生的求知欲，从而使学生在探究中获得新知，在探究中发展思维，在探究中提高数学素质。总之，教师对一些典型题目进行变式设计，这即是对学生探索学习方法的引导，也是学生创新能力的一种培养策略。
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