浅谈数学与建筑的论文
数学与建筑
富勒、网格球顶和巴基球
21世纪的建筑──充填空间的立体
拱──曲线数学
建筑与双曲抛物面
箱子的破坏
力学是数学科学的乐园，因为我们在这里获得数学的果实。
──伦纳多·达·芬奇
几千年来，数学一直是用于设计和建造的一个很宝贵的工具。它一直是建筑设计思想的一种来源，也是建筑师用来得以排除建筑上的试错技术的手段。下表可能看来内容丰富，其实不过是多少世纪以来曾经用在建筑上的数学概念的一部分：
·角锥 ·棱柱 ·黄金矩形 ·视错觉 ·立方体 ·多面体 ·网格球顶 ·三角形·毕达哥拉斯定理 ·正方形，矩形 ·平行四边形 ·圆，半圆 ·球，半球 ·多边形·角 ·对称 ·抛物线 ·悬链线 ·双曲抛物面 ·比例 ·弧 ·重心 ·螺线 ·螺旋线 ·椭圆 ·镶嵌图案 ·透视
影响一个结构的设计的有它的周围环境、材料的可得性和类型，以及建筑师所能依靠的想像力和智谋。
一些历史上的例子是──
·为建造埃及、墨西哥和尤卡坦的金字塔而计算石块的大小、形状、数量和排列的工作，依靠的是有关直角三角形、正方形、毕达哥拉斯定理、体积和估计的知识。
·秘鲁古迹马丘比丘的设计的规则性，没有几何计划是不可能的。
·希腊雅典的巴台农神庙的构造依靠的是利用黄金矩形、视错觉、精密测量和将标准尺寸的柱子切割成呈精确规格（永远使直径成为高度的 1／3）的比例知识。
·埃皮扎夫罗斯古剧场的布局和位置的几何精确性经过专门计算，以提高音响效果，并使观众的视域达到最大。
·圆、半圆、半球和拱顶的创新用法成了罗马的建筑师引进并加以完善的主要数学思想。
·拜占庭时期的建筑师将正方形、圆、立方体和半球的概念与拱顶漂亮地结合在一起，就像君士坦丁堡的圣索菲亚教堂中所用的那样。
·哥特式教堂的建筑师用数学确定重心，以构成一个可调整的几何设计，使拱顶汇于一点，将石结构的巨大重量引回地面，而不是横向引出。
·文艺复兴时期的石结构显示出对称方面的精心设计，它是依靠明和暗、实和虚来实现的。
随着新建筑材料的发现，人们便用一些新的数学思想来使这些材料的潜力达到最大。利用品种繁多的现成建筑材料──石、木、砖、混凝土、铁、钢、玻璃、合成材料（如塑料）、钢筋混凝土、预应力混凝土，建筑师们实际上已经能设计任何形状。我们现在已经目睹了各种构造：双曲抛物面（旧金山的圣玛丽教堂）、巴克明斯特?富勒的网格结构、保罗?索莱里的模数制设计、抛物线飞机吊架、模仿游牧民帐篷的立体合成结构、支撑东京奥林匹克体育馆的悬链线缆索，甚至还有带着椭圆形圆顶天花板的八边形住宅。
建筑是一个进展中的领域。建筑师们研究、改进、提高、再利用过去的思想，同时创造新思想。归根到底，建筑师有想像任何设计的自由，只要存在着支持所设计结构的数学和材料。
有关希尔伯特的两个小故事
德国数学家大卫·希尔伯特（1862～1943）是20世纪最伟大的数学家之一。他对数学的贡献是巨大的和多方面的，研究领域涉及代数不变式，代数数域，几何基础，变分法，积分方程，无穷维空间，物理学和数学基础等。他在1899年出版的《几何基础》成为近代公理化方法的代表作，且由此推动形成了“数学公理化学派”，可以说希尔伯特是近代形式公理学派的创始人。1900年希尔伯特38岁时在巴黎举行的第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的著名讲演。在讲演中，他根据19世纪数学研究的成果与发展趋势，以卓越的.远见和非凡的洞察力，提出了新世纪所面临的23个问题。这23个问题涉及现代数学的大部分重要领域（著名的哥德巴赫猜想就是第8个问题中的一部分），对这些问题的研究有力地推动了20世纪各个数学分支的发展。
本文介绍关于希尔伯特青年时代的两个小故事。
一、老师在课堂上现想现推
1880年秋天，18岁的希尔伯特进人家乡的哥尼斯堡大学，他不顾当法官的父亲希望他学习法律的愿望，毫不犹豫地进了哲学系学习数学（当时的大学，数学还设在哲学系内）。希尔伯特发现当时的大学生活要多自由有多自由。意想不到的自由，使许多年轻人把大学第一年的宝贵时光都花费在学生互助会的传统活动饮酒和斗剑上，然而对希尔伯特来说，大学生活的更加迷人之处却在于他终于能自由地把全部精力给予数学了。
大学的第一学期，希尔伯特选学了积分学，矩阵论和曲面的曲率论三门课。根据规定。第二学期可以转到另一所大学听课，希尔伯特选择了海德尔堡大学，这是当时德国所有大学中最讨人喜欢和最富浪漫色彩的学校。希尔伯特在海德尔堡大学选听拉撒路·富克斯的课。富克斯是微分方程方面的名家，他的名字和线性微分方程几乎成了同义语。他讲课确实与众不同，给人的印象很深。课前他不大做准备，对要讲的内容，在课堂上现想现推。于是常常发生这样的情形，某个问题在黑板上推不下去了，这时他就再想另外一种方法，有时一连要换好几种方法，但他最后总能推导出结果来。他就是这样，习惯于在课堂上把自己置于危险的境地。这样的课学生们如何看呢？他的一位学生后来回忆时写道：这样的课，使学生们“得到一个机会，瞧一瞧最高超的数学思维的实际过程。”我们可以想象，善于思考和学习的希尔伯特肯定会从中领悟到一个数学家是如何思考问题的，这种包括几经碰壁终于找到解法的探索过程在教科书上无论如何是看不到的。把思考问题的实际过程展现给学生看，这样做实际上是非常富于启发性的。我国著名的数学方法论专家徐利治教授认为这一点对希尔伯特的成长肯定起过很好的作用。我想这一点对我们今天也很有启发。学习数学不仅要学会这道题的解法，而且更要学会这个解法是如何找到的。即学会思考。
二、苹果树下的例行出步
希尔伯特在海德尔堡上了一学期以后，接下来的一个学期，本来可以允许他再转到柏林去听课，但他深深地依恋自己的家乡，于是他又回到了哥尼斯堡大学。再下一个学期──1882年春天，希尔伯特仍决定留在哥尼斯堡。
这时赫尔曼·阅可夫斯基从柏林学习了三个学期后也回到了哥尼斯堡大学。闽可夫斯基从小就数学才能出众，据说有一次上数学课，老师因把问题理解错了而“挂了黑板”，同学们异口同声叫道：“闭可夫斯基去帮帮忙！”在柏林上学时，他因为出色的数学工作曾得到过一笔奖金。这时，年仅17岁的阅可夫斯基正沉浸在一项很深奥的研究之中──解巴黎科学院出榜征解的一个问题：把一个数表成五个平方数的和。一年后，1883年春天，18岁的阅可夫斯基和英国著名的数学家史密斯共享巴黎科学院的这项大奖。这件事轰动了整个哥尼斯堡。希尔伯特的父亲因此曾告
诫自己的儿子不要冒冒失失地去和“这样知名的人”交朋友。但由于对数学的热爱和共同的信念，希尔伯特和比他小两岁的闽可夫斯基很快成了好朋友。
1884年春天，年轻的数学家阿道夫·赫维茨从哥廷根来到哥尼斯堡担任副教授，年龄还不到25岁，在函数论方面已有出色的研究成果。希尔伯特和闽可夫斯基很快就和他们的新老师建立了密切的关系。他们这三个年轻人每天下午准5点必定相会去苹果树下散步。希尔伯特后来回忆道：“日复一日的散步中，我们全都埋头讨论当前数学的实际问题；相互交换我们对问题新近获得的理解，交流彼此的想法和研究计划。”在他们三人中，赫维茨有着广泛“坚实的基础知识，又经过很好的整理，”所以他是理所当然的带头人，并使其他两位心悦诚服。当时希尔伯特发现，这种学习方法比钻在昏暗的教室或图书馆里啃书本不知要好多少倍，这种例行的散步一直持续了整整八年半之久。以这种最悠然而有趣的学习方式，他们探索了数学的“每一个角落”，考察着数学世界的每一个王国 高三，希尔伯特后来回忆道：“那时从没有想到我们竟会把自己带到那么远！”三个人就这样“结成了终身的友谊。”
正如徐利治教授所指出的，良师益友间的互相切磋讨论对希尔伯特的成长发展也起了十分重要的作用，可以想见那段时间是希尔伯特才、学、识获得迅速成长的重要阶段，假如没有这段经历，那么希尔伯特在1900年竟能在许多重要领域中一次提出那么多著名难题，倒是不易想象的了。
有关希尔伯特散步的这个小故事告诉我们，师生除了在课堂上的活动以外，师生在课外的交流以及同学间的课外交流，也是一种重要的学习方式，对数学学习非常有益。而且，在散步中交流因为没有书本，也不用纸和笔，因此没有繁琐的推导和计算，只能交谈那些能用话“说出来”的东西，即对问题的理解，分析总是中的思想和方法，挖掘统帅形式推导的灵魂，......而这些对学好数学非常重要。同学们不妨经常邀几位要好的同学一起散步交谈，肯定会其乐无究的。
参考资料；
（1）康斯坦斯·瑞德著《希尔伯特》，上海科技出版社，1982年。
（2）徐利治著《数学方法论选讲》（第二版），武汉：华中工学院出版社，1988年。
选自《中学生数学》2001年8月上
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