多层次教学法对大学数学的影响
一、大学数学分层次教学势在必行
大学数学是理工科、经济学科等专业必修的基础课程，它是所有理工科学生进入大学后需要首先接触的基础课程，是学生学习后续课程的重要工具，它提供的数学知识、数学思想、数学方法不仅仅是学生学习后续课程的重要工具，还是培养学生逻辑思维和创新能力的重要途径，所以我们必须要做好大学数学的教学工作。大学教育已经从昔日的精英教育转为了大众化教育，进入了一个高速膨胀、全面快速发展的阶段。在当今高校教育的新形势下，我觉得目前数学教学中存在如下问题：
(1)各高校招生数量大，生源分布广，学生的知识水平差异也越来越大，有的学生在高中就学会了求函数的导数和微分，而有的学生甚至不会求函数的定义域。
(2)当今社会，经济发展速度之快，数学被应用于各个经济和科学领域，但是数学在各个领域的作用程度却有很大不同，不同的专业对数学要求也有不同。这样不同的专业实施同层次的数学教学，就不能满足社会的需求，也无法达到应有的教学效果。因此，根据学生基础不同、专业不同、个人发展方向不同，因材施教，因材施学，实施分层次教学势在必行。
二、大学数学分层教学的实施
大学数学的分层次教学是指通过分层教学层次的确定，制定各层次教学的教学大纲，设定各层次教学的教学目标，让基础不同、专业不同、个人发展方向不同的学生有明确的学习目标。所以，教学目的分层是实施分层教学的关键环节。教学目标应依据教学大纲和教学内容，从基础不同、专业不同、个人发展方向不同的学生的实际出发来进行确定，同时要符合各层次学生的认知特点和能力，通过有针对性地学习目标初步预计到各个层次学生的学习结果。针对差、较差、好三个层次的学生对基本知识点和基本技能的把握程度和接受能力的不同，具体设计三个层次教学的教学目标。对于数学功底好且具有强烈的求知欲和较强的自学能力的学生，教学目标需要有高的要求。定义、性质略讲，重讲内涵和外延，拓宽其知识面，增补近年来名高校在相应章节的考研题，同时还给一些综合性思考题，指导学生刻苦钻研数学竞赛题，积极参加全国每年一度的数学建模大赛和全国大学生数学竞赛，旨在培养学生的发散思维和创新能力。对于数学功底较差，学生的整体素质一般的学生，基本知识点作为讲解重点，要求学生掌握基本理论知识和基本数学思维方法，适当地将部分教学内容进行外延，同时给一些中等难度的思考题，旨在培养学生分析问题和解决问题的能力。对于数学功底差且对新事物的接受与反应能力较慢的学生，基本知识点作为讲解重点，要求学生掌握基本理论知识和基本数学思维方法，反复练习高教大纲要求的基础知识和基本技能，合理控制好教学的进度，本着够用的原则，达到高教大纲规定的基本要求。下面是笔者运用分层次教学来讲解知识点的实例。(1)在全微分的学习过程中，老师对于基础层次的学生的要求就是掌握全微分的定义及利用求函数的全微分。对于中间层次的学生老师要求不仅要掌握以上内容还要掌握函数的可微性的充要条件、充分条件、必要条件。即：充要条件：函数在点可微的定义。充分条件：设函数在点的某个邻域上存在偏导数，并且偏导数在点连续，那么f在点可微。必要条件：设函数在点处可微分，那么该函数在点处的偏导存在。对于高层次的学生在掌握以上知识后还要掌握函数的以下关系式：关系图中带→表示由前者可以推出后者，如果没有→则表示前者不一定能够推出后者。在掌握以上关系式的同时还能够举出实例证明上述关系。如：我们在证明函数在某一点连续但不一定能够推出偏导存在的关系时可以举以下实例：证明函数在(0，0)点处连续但偏导不存在。证明：函数在(0，0)点有定义且所以函数在(0，0)点连续函数在(0，0)点对于x的偏导：所以在点(0，0)处不存在。同理可知：在点(0，0)处不存在。故函数在(0，0)点连续但偏导不存在。我们在证明函数在某一点偏导存在但不连续可以举下面的例子：证明函数在点(0，0)处偏导存在但不连续。证明：在点(0，0)处：所以该函数在点(0，0)处偏导存在。该函数沿y=x路径趋于(0，0)时，极限值为：而该函数沿y=0路径趋于(0，0)时，极限值为：由于该函数在沿不同路径趋于(0，0)时极限值不同，所以该函数在点(0，0)处不连续。所以函数在点(0，0)处偏导存在但不连续。对于高层次的同学来说以上的关系图中的关系都要能举出实例来证明。(2)为了更好地实施分层教学，我们针对不同的专业，实施不同的教学方法。以教授物理学专业和数学专业为例。方法：由于数学的概念和定义一般都比较抽象，不容易理解和掌握，因此，在介绍数学的概念和定义之前，有必要先讲它的物理学背景。在物理学背景下，对物理数量进行分析、归纳，最后抽象上升为数学的概念和定义。这种以物理学实际出发讲授数学概念的教学方法，首先能激发物理学学生学习数学的兴趣，调动其积极性;其次，能加深其对数学概念的理解，使其更容易掌握概念，理解并熟记公式;最后能提高物理学学生分析和解决物理学数量问题的能力，为其将来的科学研究奠定良好的基础。与此同时，《高等数学》的重要性也显而易见了。实例：数学上，导数的概念就比较抽象，它是函数增量与自变量增量之比的极限：如果把这个概念介绍给物理学学生，他们只能死记这个极限式，而不容易理解其意义，在教学过程中可选择这样一个物理学实例进行分析讨论：研究质点M沿直线作变速直线运动，其运动规律(函数)为s=s(t)，其中t是时间，s是路程，求其在t0时刻的瞬时速度。为了解决这个问题，可以先求出在时间间隔t0到t0+△t之间质点M的平均速率：当△t变化时，平均速度也随之变化，当|△t|较小时，平均速度是质点在时刻t0的“瞬时速度”的近似值。这时，可通过取极限将近似值精确化，即当△t小到无限地趋近于零的时候，若趋于确定值，该值就是质点M在时刻t0的`瞬时速度v，即在此时，便可引入导数的定义如下：对于函数y=f(x)，当自变量在x0附近有增量△x时，函数值也有增量△y，如果极限存在，则称函数y=f(x)在x0点处可导，此极限值称为函数y=f(x)在x0点处的导数，用f'(x0)表示，于是，质点M沿直线作变速直线运动，质点在t0时刻的瞬时速度即为质点M在时间段t类的路程在t0处的导数s'(x0)。这样讲授，加深了物理学学生对导数概念的理解，使物理学学生掌握了导数在数学上定义为增量比的极限，在物理学上表示物理量的变化率。这种从物理学实际出发，通过分析解决物理学数量问题、引入数学概念的教学方法，能激发学生兴趣，形象具体，深入浅出。他们在学到数学知识的同时，学到了用数学知识去分析和解决物理学数量问题的方法。这些，正是我们期望培养的专门人才所必须具备的知识和能力。就这一问题，对于数学专业的学生就会从连续曲线上的割线MN的斜率(K`=)入手，N沿曲线不断移向M，其极限位置与M重合，于是将问题转化成连续曲线上过点M的斜率问题K=，事实上，这就是函数在点M的导数。这种从数学实际出发，通过分析学生们熟知的老问题、引入数学新概念的教学方法，使数学变得神奇、相通、水到渠成，体现了数学之美，从而激发了学生学习数学的积极性。
三、大学数学分层次教学法的意义和作用
在大学数学教学过程中采用分层次教学，我认为意义重大，主要体现在以下几个方面：
(1)分层次教学有利于学生个性的发展。
(2)分层教学法的针对性很强，这有利于课堂上的教学和课后的辅导，真正实现因材施教。
(3)分层次教学有助于教学质量的提高。总地来说，分层次教学法充分体现了教师的主导作用和学生的主体地位，通过师生之间、学生之间的互动，调动学生学习的积极性，能够形成良好的学风和教风，使得师生关系更加和谐、融洽。分层次教学法为不同层次的学生创造出了相应的学习条件，使不同层次的学生都能够找到适合自己的学习方式，这样教学需求和学生学习的积极性真正做到了相互适应，从而每个学生都能够在原有的基础上有进步、有发展。分层次教学法真正实现了“人人学数学，人人爱数学”。
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