一道课本问题的变式训练
北师大版教材九年级上册第一章第二节提出问题“在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗?”，这是等腰三角形的性质及三角形全等的知识的综合应用，由于学生在七年级就接触过这两个知识点，故对学生来说掌握起来很容易，学生在课堂上的思维训练没能达到一定的高度，针对这种情况，笔者在授课的过程中对这一课本问题进行变式，使本节课的知识达到了一定的梯度，让学生的思维产生了极大的碰撞，提高了学生的解题能力.现举例如下：
变式一：如图，D为等腰三角形ABC的底边BC上任意一点，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点C作CM⊥AB于点M，那么DE、DF、CM之间存在怎样的数量关系?并加以说明.
分析：首先引导学生大胆猜想三条线段的数量关系，学生很容易想到：CM=DE+DF.其次引导学生分析该问题属于证线段的和差关系，应采用截长补短法.法一：截长法.可以过点C作CN⊥ED并交ED的'延长线于点N，易证四边形MENC为矩形，可得EN=CM，欲证CM=DE+DF，只须证EN=DE+DF，而EN=DE+DN，故证DN=DF即可.通过证△DFC≌△DNC即可得到DN=DF.法二：补短法.过点D作DI⊥CM并交CM于点I，证CI=DF即可.法三：由于CM是等腰三角形的高，于是联想到等积法.可连接AD，因为△ABC的面积等于AB•CM，△ABC的面积还等于AB•DE+AC•DF，又AB=AC，故CM=DE+DF.
通过此题，引导学生归纳出“到等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高”这一性质.
这是一道很常规的证线段的和差问题，学生想到方法一、二很容易，此题出彩点在引导学生想到等积法及归纳出等腰三角形的又一重要性质，并应用该性质解题，于是引出变式二、三.
变式二：点D是边长为2的等边三角形ABC的边AB上任一点，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，那么DE+DF的值为_____________.
分析：这是某省市一道中考填空题.有了变式一的基础，学生很容易知道求DE+DF的值就是求等边三角形一边上的高，再利用三线合一及勾股定理可求得DE+DF=.
解：过点B作BG⊥AC于G，连接CD.∵SABC=AC•BG，又∵SABC=AC•DF+BC•DE∴AC•BG=AC•DF+BC•DE，而AC=BC，故DE+DF=BG.
又∵等边三角形三线合一可知G为AC的中点，∴AG=1.∴BG=.即DE+DF=.
变式三：在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值为____________.
分析：此题是一道全国初中联赛试题，在变式二的基础上又有了一定的难度，分别求出PE、PF有困难，引导学生善于从复杂图形中找到基本图形，由矩形的对角线相等且平分知△AOD为等腰三角形，P为其底上任意一点，则P到两腰的距离和等于腰上的高，故PE+PF的值等于BD边上的高，则问题迎刃而解.
解：过点A作AI⊥BD于I，连接PO.
∵在矩形ABCD中有AO=DO，
∴△AOD为等腰三角形.
∵SAOD=OD•AI=AO•PF+DO•PE，∴PE+PF=AI.
又∵SABD=AB•AD=BD•AI，∴AI=，∵AD=12，AB=5，∴AI=，即PE+PF=.
通过这一组变式，学生既掌握了大纲要求本节课应掌握的等腰三角形的性质、三角形全等的知识点，同时又回顾了矩形的性质、勾股定理、等积法、截长补短法等知识点，提高了学生归纳知识、综合运用知识及知识迁移的能力，培养了学生从复杂图形中抽象出基本图形的能力，培养了学生的发散思维.故恰当的对课本问题进行变式对提高课堂效率、提高学生的解题能力不失为一种好办法.
【一道课本问题的变式训练】相关文章：
9.形体训练常见问题