数学语言教学

时间:2017-08-06 我要投稿

摘要:数学语言具有性、简洁性、相通性,所以,数学语言是一种特殊的语言。对数学语言的研究必将对数学本身及数学的,乃至对人类文明都会起到积极的促进作用。

关键词:数学符号  数学语言  科学  简洁  相通

我们天天接触数学,但是很少有人对数学语言进行专门系统的研究。譬如数学语言的产生、发展和形成;数学语言与一般语言有哪些不同,具有哪些特殊性;数学语言在促进人类文明的过程中所起的作用;如何学好数学语言等等。从而使数学语言象汉语语言学那样成为一门独特的语言学科——数学语言学。本文只研究数学语言的特殊性。这种特殊性更多地是与一般语言(汉语语言)进行比较而言的。下面只从数学符号的科学性、数学语言的简洁性、数学语言的相通性三个方面进行探讨。

1、数学符号的科学性

数学符号是数学文字的主要形式,它是构成数学语言的基本成份。
1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,这十个符号是全世界普遍采用的,它们表示了全部的数,书写、运算都十分方便。这10个符号常被称为阿拉伯数字,实际上却是印度人创造的,只是经过阿拉伯传到欧洲。这是印度对人类文明的一项重大贡献,这一贡献的意义也可能是今天的人们不易觉察的。但是,18世纪一位法国著名数学家曾说过:“用不多的记号表示全部的数的思想,赋予它的除了形式上的意义外,还有位置上的意义,它之如此绝妙非常,正是由于这种简易得难以估量。”
关于“位置上的意义”,指的是数字的进位表达。比如说724,它实际上是7×100+2×10+4,可是它只需简写成724就明白了。此外还有空位的问题,假若有个数字是7×1000+2×100+4,那该怎么写呢?现在我们是很容易回答了,不就写为7204吗?可是,在最初的数字符号系统中是没有0这个符号的。有的用一个点来表示:72•4有的用一个方格来表示;有的干脆就拉开一点写,表示空一位;……但这些写法的不准确、不方便是显而易见的。直到使用了0这个符号,问题才得以解决。而0这个符号比其他符号的出现晚了好几百年。如果年看72004这个数字,我们能更清楚地体会到0这个符号的特殊意义。
数学的简洁不只表现在数字符号上,还表现在其他符号上,表现在命题的表述和论证上,表现在它的逻辑体系上,总之,表现在思维上。
数学符号有许多种,除了前面提到的数字符号外,还有代数的符号,通常用字母或希腊字母表示。在笛卡儿时代,以英文字母的开头几个表示已知数,如a、b、c、…,以英文字母的最后几个代表未知数,如x、y、z,或以a、b、c、…代表常数,以x、y、z代表变数。现在,这已不是固定的了,在某种约定之下,a、b、c、…也可代表未知数,也可以表变数,x、y、z也可以代表已知数,也可以代表常数。还有一些特殊的常数,如π,e。还有另一些表现数量的符号,往往是其他类型符号的组合。
数字研究的对象已不只限于数,还研究形,△表示三角形,□表示四边形,⊙表示圆。
数学研究的最一般对象是集合,而表示集合的符号常常用英文字母的斜体,如A、B、C、D、X、Y、Z等。某些特殊的集合又用特殊的符号表示,例如,用N表示数集,而实数集则用R表示,N与nature(自然)一词有关,R与real(实的)有关。特定的集合组成空间,空间有时用S表示,S与space(空间)一词有关,但也用其他字母表示空间。这些符号的运用使得数学语言变得简练。
还有一类符号是表示关系的,通过种种关系起联结作用。常用的如等号=,近似等号≈,全等号≌或≡。还有不等号≠,<,>,<<。∥表示平行关系,⊥表示垂直关系, 与 表示元素与集合之间的关系, 表示集合与集合之间的关系, 表示蕴涵关系等等。
还有一大类是关于运算的符号。+,-,×,÷是四则运算符号。 是开方运算符号,sin, cos, tan是三角运算符号,lim是极限运算符号,d, 是微积分运算符号。 表示若干项乃至无穷项求和, 表示连乘(若干因子或无穷个因子),!表示阶乘, , 是集合论中的运算符号。映射是比运算更普遍的概念,f,g,h等常被运用作映射符号。
微积分是英国人牛顿和德国人莱布尼茨彼此独立发现的,牛顿和莱布尼茨使用的微分符号却是不同的。牛顿创立了微分符号,比如说 的微分用 表示,可是牛顿的这一符号对于高阶微分并不方便,并且不宜于表现微分与积分的关系,因而实质上并不十分科学。相比之下,莱布尼茨的符号在这两方面都比牛顿的符号更加科学合理,它反映了事物最内在的本质,减轻了想象的任务。诸如 这样的优美的式子,是在莱布尼茨符号下才能出现的。而英国人却以牛顿为自豪,这是无可厚非的,但是,由于他们长时间固守牛顿的符号,使英国数学的发展受到了严重的损害。
所以,数学符号的科学性直接影响着数学语言的质量,影响着数学及数学教育的发展。

2、数学语言的简洁性

数学语言非常简洁精确,它具有独特的价值,它是科学语言的基础。
从宏观来说,人们常以“成千上万”来研究多,再多就是“百万”、“千万”了,更多则是“亿万”。可是,数学能作出更简洁也更明确、更有力的表示,比如说,1025、286243这样巨大的数字,一般语言就说不太清楚了。
从微观来说,日常语言之中,“失之毫厘,廖以千里”,用一毫一厘来形容微小,还有形容体积之小的,时间之短的,距离之近的。但是,没有比10-15,10-45这样一些表达更能说明问题,它也更简洁、更明了。
[a, b]仅由a、b、[ ]这三个数学符号表出,但如果比用一般语言描述就成为“大于或等于a,小于或等于b的一切实数的集合。”除去标点还得需要20个符号,其中18个汉字。
若对任何 使得对任何n,m>N,有 ,则数列 有极限。这是著名的柯西判别准则。如果要用一般语言是无论如何也表示不清的,
作为有理数、无理数、代数数、超越数、实数、虚数之间关系之一的式子 ,是各种数的大统一。用数学语言来表达是这样的简洁、明晰。
数学语言有其独特之处,有其独特的价值,它不仅是普通语言无法替代的,而且它构成了科学语言的基础。越来越多的科学门类用数学语言表述自己,这不仅是因为数学语言的简洁,而且是因为数学语言的精确及其思想的普遍性与深刻性。
我们看看下面几个式子,就能明白物是如何用数学语言来表述的。
F=0
F=
F=
第一、二两个式子分别表达的是牛顿第一定律和第二定律,第三个式子说的是万有引力定律。
惯性定律说的是,在没有外力的条件下,物体保持原有的运动(或静止)状态,然而简洁的数学式F=0 (C是常数)表达了定律的实质。
第二定律说的是,力与质量和加速成正比,数学式子F= 表达了这一点。当质量是常数的时候,式子可写为F= ,又可用a表示加速度,因此牛顿第二定律又可以表示为人所共知的形式F=ma。
万有引力定律说的是,任何两个物体之间都有引力存在,其大小与两物体质量之积成正比,与距离的平方成反比,式子F= 又是多么有力地刻画了这一思想。

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