小议刚性振荡问题并行多值混合方法的指数拟合
刚性振荡问题经常出现在诸如大气、生物、电路、流体、热传导、激光控制理论、导弹发射动力论、机械学、分子动力学等领域。 例如大多数生物体的生理节奏可以看作是周期为24小时的振荡动力常微分方程模型，工业领域中基于CAD电流模型的微分代数方程转化而成的常微分方程是典型的振荡系统。 因此，对刚性振荡问题的数值方法研究具有广泛的应用前景。
刚性振荡问题具有刚性和振荡性双重特性，其高效数值求解有一定的挑战性和困难性，并引起了相关领域专家的广泛关注。 目前，求解刚性振荡问题的数值方法主要有两类，一类是函数拟合方法，要求此方法求解属于特定函数空间（指数函数，三角函数，多项式等）的问题是精确的；另一类是对现有的刚性问题数值方法的修改，要求它具有尽可能小的弥散误差和耗散误差。
对于指数拟合，Gautschi和Lyche首先给出了其理论分析基础，此后，一系列适用于求解一阶导数缺失的二阶常微分方程（特别是Schr¨odinger方程）和求解一阶常微分方程初值问题（特别是其解具有显著振荡性质的问题）的指数拟合方法发展起来。 主要分为线性多步法的'指数拟合和Runge-Kutta法的指数拟合，相比之下，对于特别适用于求解刚性振荡问题的并行多值混合方法（PMHMs）的指数拟合研究，迄今文献中尚未见到。
李寿佛在指出，对于刚性问题，较之BDF，Gauss Runge-Kutta 及SDIRK等方法，PMHMs具有无可比拟的优越性。 但该方法对于刚性高振荡问题不一定适用，为此，我们在[12, 13]的基础上，构造出PMHMs的指数拟合方法，以适用于求解刚性振荡问题。 本文第1节介绍PMHMs方法并构造了PMHMs的一类指数拟合方法（EFPMHMs）。 第2节分析EFPMHMs的零稳定性和绝对稳定性，并得到了方法的数值稳定区域。 第3节考虑将计算公式扩展到向量方程后方法系数的计算问题。 第4节进行了数值试验，表明本文所构造的新方法确实是高效的，且比相应的PMHMs对于刚性振荡问题更有效。
1 并行多值混合方法及其指数拟合
所构造的指数拟合方法EF-II-2，EF-II-3的经典相容阶均只为1，尽管如此，在求解刚性振荡问题时，我们主要关注的并不是拟合后方法的经典相容阶，因为计算效果的好坏主要取决于方法的稳定性、计算方法系数时所引起的误差大小以及精确积分解空间属于指数函数和多项式线性组合或乘积的这样一类微分方程（仅存在截断误差）所达到的阶数。 由于对于仅有的系数而言，本文的EF-II-2，EF-II-3方法均已达到精确积分阶数的最大值，因此，接下来，我们考虑方法的稳定性和方法系数的计算问题。
2 指数拟合的并行多值混合方法的稳定性
2.1 零稳定性 硕士毕业论文
（i）方法（10）是零稳定的。
（ii）矩阵B的最小多项式满足根条件。
2.2 绝对稳定性
定义1 指数拟合的PMHMs方法（EFPMHMs）是绝对稳定的，如果对于u（u1 = λh, u2 = υh），稳定多项式的根|ξ|满足|ξ| < 1.
定义2 指数拟合的PMHMs方法（EFPMHMs）的绝对稳定的区域为？A ∈ C × C，如果对于所有u ∈ ?A，它是绝对稳定的。
显而易见，在平面上作出EFPMHMs方法的绝对稳定区域是不可能的。 但是，参照Ixaru对参数对ν = ωh，θ = κh的处理方法，我们可以先确定u 中的一个参数u1 = λh（保证u的值在零稳定域中），然后采用边界轨迹法，作出它关于u2 = υh的绝对稳定区域。
定义3 指数拟合的PMHMs方法（EFPMHMs）关于参数u1 = λh是A-稳定的，如果对于确定的参数u1 = λh，其绝对稳定域S ? C = {?h ∈ C|Re?h < 0}.
首先，令参数λh为实数，得到EF-II-2、EF-II-3关于实数的稳定域。 从图中可以得到结论：