对函数概念学习的认知过程分析
对函数概念学习的认知过程分析
3.1影响学生函数概念学习的因素
3.1.1函数概念的形成经历了多次扩展,抽象程度很高,学生难以理解.
在第一章的叙述中，我们可以清楚地认识到函数概念从17世纪开始，曾扩展多次，并且越来越抽象。函数这一概念的发展流程如下图1：
图1
现代认知心理学认为人们在头脑中是以某种命题网络的形式表征知识的，并且这些命题是按层次结构进行存储。一般来说较为抽象概括的知识处于高层，而较为具体的内容处于低层。从下图4.1中可以看出：
人们头脑中有关动物的知识是分层次存储的，最高层是有关动物及其共同的本质特征，次一层是有关鱼与鸟的本质属性，而最下一层是一些具体的动物种类的特征。这样，使得人类对知识的认识过程分为两大类：即由一般到特殊（从上到下）和由特殊到一般（从下到上）的认识过程。[21]函数概念的演变过程经历了“由特殊到一般”的弱抽象过程，这种弱抽象结果使函数这一概念的包性更强，更抽象，处于命题网络的顶层。（如下图所示） 所以学生学习起来必然感到困难。
3.1.2教材中函数概念的定义叙述语言严谨、深刻,学生难于理解概念的内涵与外延。
例如，初中数学教材中的定义，这个定义是用描述性语言给出的，此后学生学习一些简单的具体函数：正比例函数、反比例函数、二次函数等，并了解它们的一些简单性质公式、图像、单调性等。教材编写者考虑了与初中生的认知水平相适应。尽管如此，学生学起来还是比较困难。主要原因在学习变量之前，学习大多是接触常量。这就要求学生思维上一个台阶。由常量向变量的飞跃。首先学生难于理解变量的涵义，其次，x在某一范围内的每一个确定的值……。都有唯一确定的值与它对应中的“毎一个”，“唯一确定”，“对应”等词都难以理解。学生还难分清“谁是谁”的函数。函数定义本身也存在缺陷 “y既是x的函数”,同时y又是x的函数值 ,它们之间混淆了。又如高中教材中的函数定义，突出了“对应法则”是函数的核心，它严格区分了函数与函数值，但什么是“对应法则”定义中没有明确是一个缺陷。如 ， 有相同的定义域和值域，它们有不同的运算，两个对应 与g是否相同呢？此处两个函数中的对应还可理解为同一个对应的不同表达形式，视为同一函数。[22]又如 ，既可以说是同一个函数，又可以说不是同一个函数，按其本质来说应是同一个函数。[23]从集合“笛卡尔积”出发来定义函数，得到函数的现代定义克服了上述缺陷，但不适合在高中引入，与学生的认知水平不符。此外高中教材中的定义是在集合与映射的基础上定义的，映射本身也是一个抽象难懂的概念，如果学生没有完全掌握，将会阻碍后续学习。例如在问卷2和3的调查中关于判断是不是一个函数一题，学生中就误认为映射的思想就是函数的本质。而没有抓住函数的本质是变量之间的相倚性。函数是用来描述客观世界变化的重要数学模型。比方说长方体的体积（v）是由长、宽、高三者决定的，那就说明它们之间存在着相倚性，但却很难联系到多个集合与一个集合之间的映射。虽然映射的思想不是函数的本质，但却能最深刻地刻画函数的本质。由此我们知道学生之所以出现调查中的情况关键在于没有领会映射思想，没有建立概念内部与概念之间的联系，而仅仅记住其表现形式或语言表述。此时他所掌握的概念是孤立的，实际上并没有正确理解概念，不能真正解决具体问题。
３．１．３学生的经验
学生获得概念的能力随着年龄的增长，经验的增长而发展，智力也是影响概念学习的重要因素之一。但研究表明，就智力与经验对概念学习的影响程度来看，经验的作用更大，丰富的经验背景是理解概念本质的前提，否则将容易导致死记硬背概念的字面定义而不能领会概念的内涵。[24]这里的“经验”除包括学校学习的经验（包括数学活动经验，以及其它学科学习的经验）以外，还有来自日常生活而且日常生活经验在学习中发挥着重要的作用。事实上，学生掌握的科学概念许多都是从日常概念发展而来的。如初中生在学习函数概念，必须准确掌握“变量”、“对应”和“运动”的涵义，（而这几个概念都可从日常生活经验中掌握）否则便不能真正获得“函数”这个概念。教学实践表明，学生生活经验越丰富，他们的`已有知识越准确牢固，已有技能越熟练，掌握新概念就越有利，同时也可以看出学生形成概念之所以遇到困难，也与学生所把过去经验不恰当地迁移到新情境有关。[25]
3.1.4学生的认知策略
认知策略，即学生面对新概念学习所采取对策，包括注意、记忆和思维方式的选择与修正等，也能对获得概念产生重要影响[25]。在函数概念学习之前，基本上是常量数学，所学的数学概念属于形式逻辑的范畴。函数研究变量，变量的本质是辩证法在教学中的应用，即函数是一个辩证概念。学习时学生的思维发展水平要从具体形象思维过渡到抽象逻辑思维。在这个过程中，学生渐渐地脱离对感性经验的依赖，由经验型抽象思维逐步上升为理论型抽象思维。初中生以形式逻辑思维为主，高中生在继续完善形式逻辑思维发展的前提下，辩证思维发展渐渐占主流。高中生的辩证思维基本上还处于形成与发展的早期阶段。而函数概念的学习要求学生思维能够进行静止与运动,离散与连续的相互转化。这给学生形成了认知上的障碍。学生学习函数定义对函数的三要素（定义域、值域、对应法则）的掌握，和符号“ ”（对应法则）表示的意义学生最难理解。因为具有“隐蔽性”，它的具体内容很难从符号上来想象，即使所表示的对应法则是确定的，学生也缺乏足够的为符号建立起具体内容的经验基础。这样一方面是学生的辩证思维发展还处于很不成熟的时期，思维水平基本上停留在形式逻辑思维范畴，只能局部地、静止地、分割地、抽象地认识所学事物。另一方面函数概念是一个辩证概念，其特征是发展的、变化的处于其他概念相互联系之中。形成函数概念必须冲破形式逻辑思维的局限，进入辩证思维领域，这个矛盾构成了函数概念学习的认知障碍。