基于函数概念的认知分析的教学策略研究
基于函数概念的认知分析的教学策略研究
函数概念教学策略可以从各个角度来阐述、分析，但根据现代认知理论对学习与教学的理解,教学设计应从以下几方面出发: 用直观的形式向学习者显示学科内容结构，应该让学习者了解教学内容中涉及的各类知识元之间的相互关系；学习材料的呈现应适合于学习者认知发展水平，按照由简到繁的原则来组织教学内容。这里所说的由简到繁是指由简化的整体到复杂的整体；学习以求理解才能有助于知识的持久和迁移；向学生提供认知反馈可以确认他们的正确知识和纠正他们的错误学习。学习者自定目标是学习的重要动力因素；学习材料既要以归纳序列提供，又要以演绎序列提供；学习材料应体现辩证冲突，适当的矛盾有助于引发学习者的高水平思维。因此函数概念的教学设计都必须从学生学习函数概念的心理过程规律和函数概念的构成基础出发，通过教学情境促进学生建构相应的数学概念。即教学理论应从函数概念的构成，学生学习与教师教学实践的整体出发，而不是仅仅从某一侧面出发。按照现代认知心理学的观点，数学概念学习同一切学习一样是将外在学习材料内化的过程。如果学习材料与学生原有认知结构有联系，则要通过教学艺术活动使之建立联系，使之学生的认知结构同化。 [27]
4.1构建以函数为轴的整体教学设计
数学教学中函数内容，本身就是重要的基础知识，它贯穿了整个中学数学学习以及大学数学学习。数学中的诸多概念或由函数派生、或由函数统率，或可归之为函数观点研究。这就要求我们教学设计应从一个整体来设计，应瞻前顾后。比如课例1.中指出的教师可举一些离散的例子，为高中的函数学习打下基础。又如代数式的学习，可看成带有变数的函数表达式，求代数式的值，实质上就是求函数值。解方程（组）实质上是求已知函数的变数值，使在变数值上已知函数有某个预先指定的值。如解方程 ,实质上是求函数 何时函数值为1。有些方程的题甚至不转化到用函数来解将无从下手，或计算过程相当繁锁。例如这样一道题：当 为何值时，关于 的方程 有两个、一个、零个实数解？像这样一道题我们首先应将对数方程转化为代数方程并整理得： ，故原问题等价于讨论函数 和函数 的交点问题，并且交点个数即为原方程实数解的个数。接下来利用数形结合的思想，作出 的函数图像。取图像中 的部分，容易
得出１．当 时有两个交点，故原方程有两个实数解；
２．当 或 ，有一个交点，故原方程有一个实数解；
３．当 或 ，无交点，故原方程有零个实数解。同样解不等式也可类似处理。如解不等式 ，实质上是求函数 何时函数值恒为正数；数列也可看成定义在 上的函数，等差数列通项公式： 可看成一次函数 ，等差数列前Ｎ项的和 可看成二次函数 。等比数列以及其它许多知识都可以从函数的角度来认知。这样使学生在课堂中能多个角度来认知，更利于知识的理解和掌握。
此外中学数学的知识，一般以基本概念、公式、定义、定理、推论、原理、法则、例题、习题等形式出现，通常这些为知识元素。教材编写者按照逻辑顺序把这些知识元素编成教材，从而形成一条逻辑链条。在这个逻辑链条中，知识元素之间有内在的联系，它们本是一个有机的整体。但在教学中，教师大都是把这些知识元素一个一个地教给学生，而没有一个整体的教学设计思想。这样学生很容易忽视这些知识元素之间的内在联系，用孤立、静止的观点看待这些知识元素。这不仅不利于理解知识的本质，也不利于应用这些知识元素解决实际问题。因为任何一个复杂的问题的解决，都需要综合运用各种知识元素才可能完成。
由函数所反映的运动变化、相互联系的观点来贯串这些知识元素，将有助于克服数学教学中易出现的上述问题。例如，锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，在分别学习时，学生不易看出它们之间的内在联系，但若用函数所反映的运动变化观点把它们看成由一边不动而另一边绕顶点旋转而成的，就把这些角的概念在运动过程中统一起来了，而且还把角的概念的本质，即角的大小与边长无关，只由两边张开的程度来决定，进一步揭示出来了。
4.2函数概念教学要注重学生的情感需求
在第三章第一节已谈到学生对函数知识所持的情感会影响学生对函数的认知。布鲁纳也曾指出：“认知可以改变情感，情感也可以影响认知。”情感在这里是指以兴趣、愿望、热情等形式构成学习动机，作为主要的非认知因素制约着认知学习。教育不仅要侧重认知能力的培养，还要兼顾情感的发展。事实上，情意行为与认知活动是分不开的，两者共生共荗。缺乏情感的学习不是真正的学习，几乎所有的认知都会有情感成分，而且相辅相成。[28]教学过程既是知识信息的传输、反馈过程，也是师生情感融汇的过程。教学系统是知识和情感两个子系统的交织，两者应是水乳相融、紧密相联的。心理学的情感理论还指出“人的情感具有启动、定向、维持、强化等功能，并具有两极性、弥散性、感知性、迁移性。因此，重视情感教育，不仅能提高课堂教学效果，而且还能提高学生的综合素质，形成良好的个性品质。
4.2.1加强情感教学的理论依据
全日制义务教育阶段国家数学课程标准对数学课程目标的提法较以前有较大的改进___强调数学教育应当首先关注毎一个学生的情感、态度、价值观和一般能力的发展，增进对数学理解和应用数学的信心。[29]这一总目标：使学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心；初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学充满着探索和创造；感受数学的严谨性以及数学结论的正确性；形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。
《高中数学课程标准》的框架设想（2002，3.18征求意见稿）中可以看出课程标准的设置正朝着以人为本的方向努力，努力拓宽数学知识面，关注学生已有的生活经验和知识背景，关注学生的自主探索和合作交流，让学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流和创新等过程，获得数学学习的自信心和方法；关注学生的情感和情绪体验，让学生投入到现实的、充满探索的数学学习过程中去，体会数学的探索过程，体会数学与自然、社会和人类生活的联系，获得情感、能力、知识的全面发展；新课程标准努力给教材的多样性创造条件，给教师教学留有余地，给学生学习提供充分的时间与空间。