用于压缩感知的无线传感网测量矩阵设计方法
摘要：为了解决无线传感器网络中数据采集过程中的冗余和传输能耗问题，深入分析信号的线性测量过程，提出一种用于压缩感知的测量矩阵设计方法。该方法结合对角矩阵和正交基线性表示原理，采用线性结构化的方法构造，过程简单、速度快、稀疏度高、没有冗余，适合硬件资源有限的传感器节点的实现。仿真结果表明，基于对角矩阵线性表示的测量方法与常见的高斯随机矩阵和部分哈达玛矩阵两种测量方法相比，该方法在相同信号重构精度前提下信号恢复成功率更高，传感节点可以通过压缩观测得到更少的测量数据，从而大大减少网络通信量，节约网络能耗，延长网络生存周期。
关键词：无线传感器网络;测量矩阵;线性表示;相关性;压缩感知
引言
无线传感器网络(Wireless Sensor Network， WSN)[1]是一种无线通信的自组织分布式传感器网络，凭借其隐蔽、容错、部署便捷等优势，被广泛地应用在环境监测、战场侦测和监控、情报收集等领域[2]。由于节点硬件资源限制，能耗、计算能力受限，如何在保证获取有用信息的前提下延长传感器节点的生存周期是目前国内外学者研究的热点[3]。然而，传感器节点在其生存周期内数据通信消耗的能量约占总能量消耗的90%[4]，可见，通过减少数据通信量，减轻通信压力，可以很大程度上延长无线传感器网络的生存周期。
压缩感知是Candes等[5]于2006年针对传统采集方法的不足而提出新理论，它采用信号线性投影的方法使得在信息不失真的情况下，只要信号在空间变换上能够稀疏或近似稀疏表示，就可以实现信号的采集和数据的低比特率压缩，试图从原理上降低测量信号的成本，从尽可能少的数据中获取更多的信息，提高采集效率。
本文首先研究了压缩感知理论，深入分析了信号线性测量的过程，提出了适合在硬件资源有限的传感器节点中的测量矩阵设计方法，在成员节点对信号进行压缩采样，得到较少的采样数据，进一步减少网络通信数据量， 延长无线传感器网络的生存周期。
一、压缩感知
1.1压缩感知基本理论
压缩感知的核心是把稀疏的高维度信号通过投影的方法变换为低维度信号，再将得到的低维空间数据借助线性重构算法恢复出原始信号。总体来说，压缩感知过程包含3个主要问题：信号的稀疏表达、测量矩阵的设计和信号恢复。
假设信号为x∈RN的一组列向量，能够用正交基Ψ=[ψ1，ψ2，…，ψN]线性组合表示为：
x=∑Ni=1ψisi=ΨS(1)
其中：Ψ为N×N维标准正交基;S为信号x在该正交基上展开的系数向量，如果稀疏矩阵存在K个非零系数，而且K远小于信号长度N，那么称信号x是K阶稀疏的。文献[6]通过理论分析得出，信号的稀疏性与K成反比关系，K越小信号重构所需的测量次数越少，应用压缩感知的价值和效率越高。
假设原始信号是K阶稀疏的，那么利用与正交基Ψ不相关的测量矩阵Φ，通过线性变换能够将信号x在稀疏空间上表示为：
y=Φx=ΦΨS=ΘS(2)
其中：Θ为感知矩阵，Θ=ΦΨ(Φ是测量矩阵，Ψ是稀疏基矩阵);y是压缩后的测量值，它是一个数据量远小于原始信号的M维列向量。
信号恢复是压缩感知的另一个关键问题，是指如何从压缩后的测量值y中重构出稀疏度为K的原信号x，即在满足约束等距条件(Restricted Isometry Property， RIP)下通过式(3)计算最优解。
min ‖S‖l1(3)
s.t. y=ΦΨS=ΘS
1.2压缩感知测量矩阵
测量矩阵的设计是压缩感知的关键因素，是原始信号采集过程中研究的重点，也是原始信号能否高概率重建的重要前提。文献[6]指出测量矩阵的设计必须满足与稀疏矩阵基的非相关性，即满足式(4)的约束等距条件(RIP)才能更好地恢复原始信号。
(1-εk)‖S‖2≤‖ΦS‖2≤(1+εk)‖S‖2(4)
其中：εk称为K阶RIP常数，S为稀疏的信号表示。
目前围绕RIP研究的主要方向分随机性、确定性和部分随机3种矩阵测量方法。随机测量矩阵方法主要有利用高斯随机均匀分布的方法生成高斯随机测量矩阵[7]和通过贝努利随机序列数构造测量矩阵[8]等，该类方法均采用随机特性生成测量矩阵，用较少的测量值得到更精准的重建结果，但由于自身的随机性和不确定性给矩阵存储和硬件实现带来阻碍;确定性测量矩阵主要代表有多项式测量矩阵[9]等，相比随机测量矩阵，确定性测量矩阵可以节省存储空间，计算速度快、易实现，但需要较多的'测量值才能精确重建;部分随机测量矩阵是利用矩阵的向量关系随机抽取部分行向量构造而成，如部分哈达玛矩阵[9]、托普利兹矩阵[10]等，同时具有随机性和确定性两优点，但构造过程中存在维数的影响，有舍弃现象。因此，常见的测量方法在复杂多变的无线传感器网络中应用存在一定的局限性。
本文针对测量矩阵的设计要素提出基于对角矩阵线性表示的测量方法是在常见方法基础上进行的优化改进。该方法有着构造过程简单、速度快、稀疏度高、没有冗余等特点，在相同信号重构精度前提下信号恢复的误差率更低，能更好地实现数据的采集与压缩，节省存储空间，大大减少网络通信数据量，节省能耗。
二、WSN中的压缩感知
在分簇式无线传感网络中引用压缩传感，其性能的优越性是明显的，原因在于应用压缩感知方式采集的数据在成员节点进行首次压缩后，节点数据到达Sink节点过程中由各自的簇首节点进行多次压缩将大大降低通信能耗，因此，选择最优化测量矩阵是提升数据采集性能的关键。
2.1基于正交基线性表示方法
基于对角矩阵线性表示的测量方法是结合压缩感知稀疏矩阵通过对角矩阵构造一个新的线性结构。为了保证得到的测量矩阵列向量的最大非相关性，正交基的线性系数设计成为生成剩余向量至关重要的条件。由于M维空间里最大的线性无关组是M个，所以由正交基线性表示得知M+1，M+2，…，N必然与前面的1，2，…，M有一定的相关性，而为了保证这种相关性最小或向量组之间存在最大的近似非相关性，根据向量组线性表出的性质，只要正交基的线性系数全为非零实数即可，因而M+1，M+2，…，N之间的线性无关问题转化为构造线性无关系数问题。