外汇期权二项式定价公式推导及经济涵义
期权交易是八十年代以来国际市场颇具特色的合同交易，其最基本用途是为了转移利率和汇率变动风险，最大特点是在保留从有利价格变动中获取收益可能性的同时，也防止了不利价格变动可能带来的更大损失。另外，期权是许许多多有价证券、金融工具的建筑砌块，因此无论怎样强调期权定价的重要性都不过分。 Black─Scholes（1973）假设股票价格的`对数变化遵循Wiener-Levy过程，建立一个使用期权、股票的无风险套期保值资产组合，导致一个偏微分方程式，解一个热力学扩散方程，得到期权价格解析解，即著名的不支付红利的欧式股票Call期权定价公式；Garman与Kohlhagen（1983）及Grabbe（1983）等人基于同样思路，建立一个使用期权、国内货币债券和国外货币债券的无风险套期保值资产组合，得到欧式外汇Call期权定价公式，以上都要使用较多的随机过程及解偏微分方程的知识。期权定价的另一思路是Cox、Ross和Rubinstein（1979）使用二项式分布得出的变动概率代替价格对数变化遵循Wiener-Levy过程的假设，利用代数知识得出一般的欧式和美式期权定价公式，随后Geske和Johnson（1984）推导出美式期权定价精确解析式。本文目的一是通过二项式定价公式推导过程，进一步解释推导中假设条件的涵义；二是给出可适用于各类期权计算思路及结论。 首先，利用期权抛补的利率平价关系得到单周期外汇Call期权二项式定价公式；其次，给出一般表达式。 一、期权抛补的利率平价关系 由于国际外汇市场与国际货币市场通过广义利率平价关系联系在一起，与远期抛补利率平价（forward-cover IRP）类似，货币期权市场也给出另一种期权抛补利率平价（option-cover IRP）关系，以下就根据无风险资产组合（即套利）过程，不考虑佣金因素，单周期二项式即期价格分布推导Call期权价格计算公式。设 S＝周期初即期汇率，以每一个外币相当于若干本币来表示 Co＝周期初外币Call期权价格 X＝执行价格，以每一个外币相当于若干本币来表示 t＝单周期Call期权有效期，单位：年 r＝本币无风险利率，单位：％p.a. f＝外币无风险利率，单位：％p.a. St＝期末的即期汇率 第一步：根据二项式价格分布涵义，设将来（单周期末的）即期汇率只有uS和dS两个值，看一看周期末即期汇率分布和外币Call价值分布： 不失一般性，可假设 u＞d＞0 （1） 当即期汇率从期初S升值到期末St＝uS，则此时外币Call价值 Cu＝max{0，uS－X}≥0 （2） 当即期汇率从期初S贬值到期末St＝dS，则此时外币Call价值 Cd＝max{0，dS－X}≥0 （3） 根据期权性质，Co≥0 （4） 以上条件也就是推导期初Call价值计算公式时所依据的边界条件。从期初到期末汇率分支如图1，外币Call价值分支如图2.期初即期汇率 期末即期汇率 期初Call权 期末Call权│ │ 价值 价值
│ ↓ │ ↓
↓ φ uS ↓ Cu＝max{0,uS－X} S Co 1－φ dS Cd＝max{0,dS－X} 图1 单周期即期汇率二项式分支图 图2 外币Call价值二项式分支图 第二步：利用Call期权与其它金融工具构造无风险套期保值资产组合（即该期权组合保持δ中性）。构造该无风险资产组合的关键是推导出该组合中现货市场金融工具（如外币债券）数量与该周期内期权数量的套期比率H（Hedging Ratio）。 假设某投资者周期末持有一单位外币债券多头和H个外币Call期权空头，那么，首先要求出以本币衡量的套期保值组合的期末价值Vt，其结果参见表1. 表1 套期保值组合的总期末价值（以本币衡量）