马尔柯夫链在预测商品零售价格指数中的应用
作者：李雄诒 许卫华 王东甫
[摘要] 根据马尔柯夫链的基本原理，以我国1978年～2004年的商品零售价格指数为实例详细阐述了马尔柯夫链分析与预测的全过程，检验结果表明该模型用于近期预测结果准确可靠，易于操作。
[关键词] 马尔柯夫链商品零售价格指数预测
商品零售价格指数是反映一定时期内城乡商品零售价格变动趋势和程度的相对数。商品零售物价的变动直接影响到城乡居民的生活支出和国家的财政收入等。同时对商品零售价格指数的预测对企业的经营决策也起着很大的作用。因此，为准确把握商品零售价格指数的变动趋势，本文利用吸收的Markov链建立一个描述商品零售价格指数变动趋势的`分析模型，最后检验结果显示，该模型预测准确，可操作性较强。
一、马尔柯夫链简介
所谓马尔柯夫链，就是一种随机时间序列，它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与它过去取什么值的历史情况无关，即无后效性。用数学语言描述，即设{Xn,n≥0}为随机时间序列， E={E1,E2,…,Em}（E为有限个或可列个）为随机变量的状态空间，满足如下条件：
每个随机变量Xn只取非负整数值；
对任意的非负整数t1＜t2＜…＜m＜m+k，及E1,E2,…Em;Ej，当时，有:
则称{Xn,n≥0}为马尔柯夫链。
其中马尔柯夫链的概率特性取决于条件概率:
P(Xm+k=Ej|Xm=Ei)。
P(k)ij(m)=P(Xm+k=Ej|Xm=Ei)为K步转移概率，特别地，当k=1时，Pij(m)=P(Xm+1=Ej|Xm=Ei)为一步转移概率。由转移概率组成的矩阵称为转移概率矩阵，记为：
为K步转移概率矩阵。同理，当k=1时，为一步转移概率矩阵。且P(k)=Pk。
二、应用实例
1978年以来，我国商品零售价格指数受市场因素的影响逐年增大，其变化也逐渐呈现出比较明显的稳定性，且市场又是一个随机的动态系统，商品零售价格指数的状态变化究竟受市场上哪种因素的影响是不确定的，因此，商品零售价格指数的高低也呈现出随机性。综合以上特征，可将它视之为一个马尔柯夫链。
1.数据的取得
数据取自1981年～2002年的《中国经济年鉴》和2000年～2003年的《中国统计年鉴》（按1978年=100计算。其中，1986年、1987年、1988年的数字经过了换算；2004年国内零售物价指数为参考黄善明在《中国物价》2004年第3期上发表的《影响2004年我国价格走势的因素分析》一文中的估算值）。表1中列出了1978年～2004年我国商品零售价格指数资料。
2.确定系统状态及系统状态的初始分布
以表1中每年为离散的时间单位。为确保预测的精度和准确度，划分系统状态时应以3～6个为好。本文按照如下标准划分以下5种状态：
E1-快速下降（yt-yt-1≤－5）
E2－缓慢下降（-5＜yt-yt-1＜0）
E3－相对不变（yt-yt-1=0 ）
E4－缓慢上升（0＜yt-yt-1＜5）
E5－快速上升（yt-yt-1≥5）
其中:yt－第t年商品零售价格指数原始值，yt-1－第t-1年商品零售价格指数原始值。所以取E1=快速下降，E2=缓慢下降，E3=相对不变，E4=缓慢上升，E5=快速上升，则该系统的状态空间为E(E1,E2,E3,E4,E5)。由于1979年数据不祥，因此本文以1981年起开始划分状态，根据各状态取值范围确定原始资料各年商品零售价格指数所在状态（表2）。
状态概率用状态向量(P1,P2,…Pj)表示，其中Pj为状态是Ej时的概率。表中收集了1978年～2004年的历史资料，由于1979年数据不祥，且本文将2004年的数据作为检验该模型的检验数据不参加过程计算。因此，过程中参加计算的数据是从1981年～2003年共23年的商品零售价格指数值。其中E1＝4，E2＝2，E3＝0，E4＝6，E5＝11。所以各个状态概率分别为:P1=0.1739，P2=0.0870，P3=0.0000，P4=0.2609，P5=0.4783，状态向量π=(0)=(0.1739,0.0870,0.0000,0.2609,0.4783)称为状态的初始分布。
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