对“数学的自明性研究”的案例分析
前不久，笔者开设了一节“用向量法求空间角”的公开课，这节课是针对我校数学组的立项课题——数学的“自明性”研究的一节实验课.在准备这节课时，笔者深刻分析了这节课中使每个问题环节能够让学生“自明”的教学策略，并进行了多次打磨，教学时取得了较为满意的效果.现对这节课的教学过程记录如下，并针对主要环节的设计谈谈笔者的思考，供同行参考，不足之处，恳请同行给予帮助.
一、课例
1.复习引入——揭示课题的“自明”过程
师：前几节课我们学习了“用向量法证明平行、垂直”等位置关系问题，其证明的基本过程是(用PPT演示)：
师：哪位同学能“翻译”一下这个流程图?
(学生回答略.)
师：在立体几何中，除了要研究线线、线面、面面平行、垂直等特殊位置关系外，我们还将研究它们的一般位置关系.
师：线与线、线与面、面与面的一般位置关系，可以用怎样的几何量来刻画呢?
：角!
师：对!这节课我们就来学习“用向量法求空间角”.(板书课题)
【设计意图】通过复习回顾，引出课题，简捷自然、承上启下，学生既对用向量法解立体几何问题的方法步骤进行了复习，同时又对本节课要研究什么、怎样研究，能够自明.
2.建构新知——推导公式的“自明”过程
问题1：怎样求直线a与b所成的角θ呢?
师：直线a与b所成的角θ在什么范围内?
师：这是异面直线所成角的范围.当a与b平行或重合时，其所成的角呢?
师：若直线a与b的方向向量分别为a，b，怎么求角θ呢?
【设计意图】由于学生对线线角的取值范围、向量的夹角运算可能有些遗忘，所以探索线线角的计算公式时，是在“问题串”的引导下完成的.通过回顾线线角的取值范围、线线角与直线方向向量夹角的关系，逐步让学生对推导公式的方法能够自明.
问题2：怎样求直线a与平面α所成的角θ呢?
师：线面角θ的取值范围如何?
师：直线a与平面α两个几何元素都对应怎样的向量呢?
：直线的方向向量、平面的法向量.
师：好!请同学们根据推导线线角的经验，推导线面角θ的计算公式吧!
【设计意图】由于有了探索问题1的经验，学生对问题2的探索能够自明，因此教师不必再过多点拨引导.但学生可能对线面角的范围有遗忘，为此需要做一下提示.
问题3：怎样求二面角α-AB-β的'平面角θ呢?
师：怎样作出二面角的平面角θ?
师：同样，若知道两条法向量的坐标，则可得到类似公式一和公式二的运算公式.
【设计意图】由于二面角的两个半平面的法向量的夹角与二面角的平面角之间的关系比较复杂，如果让学生独立探索很难使他们自明，为此，这里先让学生讨论，然后梳理归纳，从而使学生先对两角之间的关系能够自明.而对角θ是锐角还是钝角的判定，是教学的难点，笔者采用讲解法，让学生在了解几何特征的基础上，使他们自明，从而得到计算公式.
3.数学应用——公式运用的“自明”过程
师：如何运用上述三个公式呢?
(1)求EF与CG所成角的余弦值;
(2)求CG与平面EFC所成角的余弦值;
(3)求二面角E-FC-D的余弦值.
师：怎样解这三个问题?
师：不错!你很聪明!只要选一个特例就可以了.实际上，我们由线面垂直的判定定理可知，当线与面内的两条相交直线都垂直时，则线面是垂直的.因此，在上面的方程组中，我们只要选择其中任意两个方程，组成不定方程组就行了;若写三个方程，经过转化实际还是两个方程，大家明白了吗?
：明白!
【设计意图】对初学者来说，求平面的法向量是一个难点，学生总认为列出三个方程，一定能够把法向量求出来，这显然与“一个平面的法向量有无数条”是矛盾的.因此，即使是联立三个方程，最终也一定会转化成两个方程.这里教师放手让学生操作尝试，直观感知，再通过讨论，进而使学生对问题能够“自明”.
师：请大家把这个线面角的余弦值求出来!
师：很好!我们还可以先判定两条法向量相对于半平面的“进”、“出”关系，进而得到二面角的平面角θ与两条法向量夹角的关系.在本题中，我们可以把向量m=(1，1，2)，n=(0，0，1)的起点都放置到坐标原点上，于是可知向量m=(1，1，2)是由“二面角内部”指向“二面角的外部”;向量n=(0，0，1)是由“二面角的外部”指向“二面角的内部”，这就是我们上面说的“一进一出”，因此，θ=〈m，n〉，这样就有.这种判定方法，大家明白了吗?
：明白.
【设计意图】运用平面法向量的进、出关系，判定二面角与法向量夹角的关系，是培养学生空间想象能力的一个很好的过程，机会难得，不能放过!通过操作、演示，让学生体会、想象，从而使他们通过空间想象对判定方法进一步“自明”.
4.课堂小结——巩固升华的“自明”过程
教师通过两个层面对本节课进行小结.一是让学生针对本节课，用自己的语言简要总结“用向量法求空间角”的方法和步骤，通过几名学生回答，基本涵盖了本节课的重点.二是教师进行梳理概括，并进一步强调求平面法向量的方法和判定二面角与法向量夹角关系的方法等.
二、思考
“自明性”是一个哲学概念，就其意义来说，可分为“原初自明性”和“逻辑自明性”.学生在数学学习中，对有些数学概念和数学原理是“不言而喻、不证自明的”，如“点”、“直线”、“平面”、“集合”等概念，又如几何中的公理等，它们是最基本的数学概念和数学原理，是人们在长期的生产、生活实践中抽象概括出来的，不需要给它们下定义或解释(人们也无法给其下定义和解释)，提到它们，学生也自然会明白它是什么(样)、它为什么(这样)，学生对它们的理解是完全能够“自明”的，这就是“原初自明性”.“原初自明性”具有“不精准”、“模糊”的特征.学生在数学学习中，绝大多数数学知识都是通过观察、实验、归纳、推理、抽象、概括等数学思维过程，运用逻辑推理一步一步地获得“自明”的，学生对它们的理解实际是建立在逻辑推理之上的，这就是“逻辑自明性”.“逻辑自明性”具有“严密”、“精准”的特征.
数学特级教师王志江曾在他的博客中写道：“我们基于文化形态的数学课程改革就是为了帮助每个孩子对基础数学的‘自明性’拥有深刻的洞察，并以此奠定他们的世界观基础……”如何使学生对数学的“自明性”拥有深刻的洞察呢?这就需要教师在教学中，把数学知识的“学术形态”转化为“教学形态”，即通过问题串的引导，通过逻辑推理，使学生一步一步地对所学的数学新知能够“自明”.
在设计本节课时，为了让学生对所学的数学知识能够“自明”，笔者作了以下思考：
对新课的引入，需要自然流畅，激趣引疑，这样可以激发学生的求知欲望，快速调整学习状态;但也不能为了“激趣引疑”而设计得华而不实，应该以朴实自然、不冗长为原则，要凸显“数学味”.为此，在上一节课学习的基础上，笔者设计了一个问题串，以复习回顾的方式，让学生自己感悟本节课要研究的内容，进而对学习的课题能够“自明”.
在探索和推导公式的过程中，考虑到学生可能对“空间角”的相关知识出现遗忘，还考虑到某些环节可能是学生学习的难点，于是，笔者在每个公式的推导之前，都根据推导的过程所涉及的相关知识设计了问题串.这些问题，实际上是公式推导过程的“先行组织者”，正是有了“先行组织者”的铺垫，才使得学生对如何推导公式有了明确的方向，并在一步一步地“自明”中，完成了对公式的建构.以问题串的形式设计“先行组织者”，能够引导学生积极地参与数学知识的学习，体验知识的发生、发展过程，了解知识的来龙去脉，感受数学公式的合理性与科学性.相信通过这样的教学，学生对数学知识的理解是“根深蒂固”的，即使将来对数学知识有遗忘，但这种探究数学问题的方法和理念，将会使学生终生受益.
在设计例题时，考虑到学生对公式的应用刚刚起步，要达到灵活运用还需要一个过程，因此，例题的背景选择了正方体，并根据图形，分别设计了可以直接运用三个公式的问题.限于课堂教学时间，在分析解答例题时，笔者直接引导学生建立空间直角坐标系，“用坐标表示向量”(也称“坐标法”)进行求解，回避了“选择基底向量”的求解方法(这种方法也称“基底法”或“向量法”，将在下一节课进行学习).同时，在解题过程中，对学生容易产生疑惑的地方(如求平面的法向量)充分放手，让学生自主探究，目的是让学生在“挫折”中顿悟：“建立两个方程(即利用两个垂直关系)就可以求出平面的法向量”.学生在经历了这样的“自明”过程以后，不但能够掌握“求平面法向量”的方法，更对其方法的合理性产生了深刻的逻辑自明.
总之，本节课教学中，笔者在引导学生用数学的思想和方法去观察、研究和解决问题上做出了努力.我们相信，只要在教学中坚持不懈，学生对数学的“自明性”学习就一定可以实现.
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