借鉴字母意义的历史演进设计教学
1研究背景与问题提出
“用字母表示数”是由自然的“算术语言”向抽象的“代数语言”过渡的起始,是学生代数学习的入门知识,是学习方程、不等式等的重要基础.大量研究发现学生对“用字母表示数”存在认知困难,如薛文叙[1]、虞琳娜[2]、ClementJ[3]、BardiniC[4]等等,从各个不同的侧面进行研究,发现学生对“用字母表示数”的理解存在很多问题.HartKM等人研究11~16岁儿童对字母的理解,发现儿童对字母的理解大体分为6类:给字母赋值、忽略字母意义、当成物体、特定未知量、广义的数、变量[5].HarperE在上世纪80年代前后曾对英国两所文法学校1~6年级的学生,使用丢番图《算术》中的名题:“已知两数的和与差,证明这两个数总能求出.”进行测试,获得研究结论:学生对符号代数的认知发展过程与符号代数的历史发展过程具有相似性[6].Radford[7]、汪晓勤[8]等人的研究证实:学生对某些数学概念的认知与概念的历史发展之间具有相似性.据此,若能以恰当方式将数学概念的历史发展与学校教学融合起来,必将促进学生对概念的理解与认知发展.那么,现在的学生对“用字母表示数”的理解情况是怎样的?对此,确定如下两个研究问题:(1)学生怎样理解、运用字母?(2)学生对“字母表示数”的认知发展过程和该知识的历史发展过程是否印证已发现的相似性?
2“用字母表示数”的历史概述
追溯“用字母表示数”的历史发展进程,可以沿宏观与微观两条路径进行.宏观上考察符号代数的历史发展阶段;微观上查阅史料,理清字母意义的历史演进过程.
2.1符号代数的历史发展阶段在中国,“代数”一词源自清代数学家李善兰和英国传教士伟烈亚力(AWylie)于1859年合译的第一部符号代数教材《代数术》.李善兰所创“代数”一词,正是取“用字母代替数”之义.通常数学史家认为代数学的发展经历了大致3个主要阶段:修辞?缩略?符号.如NezzelmannGH在其着作《希腊代数》(1842)中就是这样划分的.人们往往将丢番图以前时期的代数称作“修辞代数”.在那时,人们没有使用符号表示未知数,所有问题的讨论解决都是用长篇文字说明.“缩略代数”阶段以引入字母表示未知量为典型特征.丢番图是这一时期的典型代表人物.他用一个特殊的记号“?”表示未知量,用专门的符号表达乘幂、减号等.后来,使用不同字母表示不同数,但是可以看到字母总是表示未知量.随后的代数学家,如阿里耶波多(AryabhataⅠ)、花拉子米等虽朝向符号代数有所接近,但只在字母表示数的类型与方程解的一般性上做出了贡献,而不是尝试表达“一般量”或说“一类量”.“符号代数”应归功于16~17世纪法国杰出的数学家韦达(FrancoisViète)与笛卡尔(RenéDescartes).韦达在其着作《分析引论》中第一次有意识地使用系统的代数字母与符号,以辅音字母表示已知量,元音字母表示未知量,他把符号代数称作“类的算术”,同时规定了算术与代数的分界,认为代数运算施行于事物的类或形式,算术运算施行于具体的数.这就使代数成为研究一般类型的形式和方程的学问.笛卡尔则主要对韦达的符号系统进行了改进.
2.2字母意义水平的历史演进过程对应符号代数的历史发展过程,用来表示数的字母在具体意义上的历史演进过程为:记数?未知?一类.伴随着人们对字母表示数意义的认识水平的提高,字母表示数的功能逐步得到发展与完善,而这是一个漫长的历史演进过程.从公元前3世纪算起,从最初用字母只表示“记数符号”的代数思想萌芽开始,经过若干人的摸索与不断推进,直到16~17世纪,用“字母”表示“一类量”思想的形成,跨越了2000多年的时间.历史史实等呈现如表1所示.
3研究方法
采用实证研究方法,通过测试与个别访谈,对学生“用字母表示数”问题的解答进行定量与定性分析.
3.1样本为摸清学生对“用字母表示数”内容的认知情况,2010年9月对上海市某中学的一个初中预备班学生共52人进行测试,收回有效卷52份.该校是上海一所普通中学,每个年级所有班均为平行班,所选样本基本能够反映上海市初中学生的一般情况.
3.2工具测试题的设定:结合《全日制义务教育课程标准》[13]中对“用字母表示数”的基本要求,从字母表示数的具体意义:“记数符号”“未知量”“一类量”不同层面入手,共设置4题,测试卷编制如下:试题1:如图1,游乐场的大转盘的最高点、最低点分别距离地面110米、10米,那么这个大转盘的半径是多少?试题2:已知圆的周长为r,那么圆的面积是多少?试题3:学校买了x只足球,每只24元;又买了5只篮球,每只y元,式子24x+5y的意义是什么?试题4:已知两个数的和与这两个数的差,怎样求这两个数?请你设计一种情形,并给出解决办法.测试的主要目的是为了解学生对“用字母表示数”的理解与运用情况,并由此分析学生对字母意义的认知过程是否与概念历史发展过程具有历史相似性.
4结果与分析
从整体情况来看,测试结果反应了学生“用字母表示数”的认知与运用水平.以下是对测试结果的逐题分析.
4.11~3题测试结果及分析(1)测试题1.测试结果:只有7名学生使用字母,而7位同学中只有两位用字母表示未知量,另外5位只用字母r表示一个表示半径的字母符号.具体情况如表2所示.对结果的分析:可以看出对于这类用算术方法与代数方法都能解决的问题,绝大多数(84.6%)的学生选择使用算术方法(不使用字母),属于符号代数的初始阶段——“修辞代数”阶段;少部分学生进入了“缩略代数”阶段.从使用字母的水平来看,大体也还停留在较低层次的“记数符号”的水平上,少部分学生达到了用字母表示“未知量”的水平.可以看到,虽然学生经过初步学习已接触过“符号代数”的思想,在教学要求上进入了“缩略代数”的阶段,但他们更喜欢用“修辞代数”解决问题.无独有偶,历史上,已跨越到“缩略代数”年代以后的花拉子米(al-Khwārizmi)在撰写其着作《还原与对消计算概要》时就是纯粹采取了修辞代数的形式,斐波那契(Fibonacci)在《计算之书》中解决问题时也曾出现过类似的情形.而当今的学生在已学习“缩略代数”并已初步接触“符号代数”的思想后,仍喜欢采用这种纯粹文字,有时显得冗长、繁琐的形式(在后面方程题目的解答中有所体现)呢?只有一个可能的原因就是这种形式和水平的思维方式更接近人们(无论古人还是当今的'学生)的认知本源.此处体现出较强的历史相似性.对教学的启示:教学中重视学生的认知起点,为实现由修辞代数到缩略代数的过渡,教师应有意识地设计此类教学素材,为他们的思维发展设置螺旋前进的阶梯.如,在这部分内容的教学中增加诸如:“写出下列语句对应的表达式”或逆向的问题“写出下列各式的意义”等题目,为顺利实现由修辞代数向符号代数的过渡做好教学准备.(2)测试题2.
测试结果:分为3类.第一类,将r当作圆的半径并将其视作已知量求得圆面积.具体表现:有28位同学自行将题目中的“周长”二字改为“半径”,另有两人虽没有改写题目,但从所填结果看,明显是将r当作圆的半径.这样,将r当作半径的学生总数就有30人(占总人数的57.7%).第二类,利用“周长r”能够求出正确结果;第三类,没有或不能解决问题6人(占11.5%).对结果的分析:可以看到,超过半数(57.7%)的学生对字母意义的理解与使用还停留在“缩略代数”的较低水平上,认为一个字母只能表示某一个确定的量(虽然看到前面的限定词:周长,但仍认为字母r只能代表圆的半径.),对字母r可以表示任意未知量没有足够的认识,没有达到字母可以表示“一类量”的认知水平;而能将r当作特定未知量并将其运用于计算过程的这一较高认知水平的人数只占到全班人数的不足三分之一(32.7%).尤其将字母r当作圆的半径的情况,突出反映了在学生心目中“r”这个字母的符号意义,这与历史上古人只用某个字母代表某个具体量的做法具有相似性.当然,客观来讲,此题也与学生已经学习过圆中半径的字母表示有很大关系.排除教学造成的影响和学生粗心等因素,可以看到:认为一个字母只固定表示某一个量对其理解字母意义造成了很大的负面影响(2011年暑假期间对初中及小学的两位数学教师的访谈,再次验证了这一点).另外,也有6人没有解答此题.(3)测试题3.测试结果:有8人认为24x?5y不能代表什么,或者认为这不是一个问题的结果,无法解释,也即认为式子中的x,y都是未知量,无法知道“具体值”;只有少数几人能够准确表达式子意义;很多学生将x,y当作相同意义的量:要么都表示球的只数,要么都表示球的价钱,也即他们在对字母表示的量缺乏足够清晰的认识.
对结果的分析:从结果可以看到,学生对字母意义,无论从认知水平,还是运用情况,都表现出很多的不足:一是很难将字母x,y看作一类量中的已知量;二是对字母参与运算的结果不能准确进行意义建构.这与学生对字母表示“一类量”的认知不够清晰,对字母参与运算存在极大的认知障碍有着直接的关系.历史上数学家对一类量的认识以及用含有字母的式子表示一个结果亦是经历了漫长的历史过程.从认知过程看,学生和历史上数学家对字母意义的理解具有相似性.测试题2、3的测试结果对教学的启示:上述测试结果显示了一定的历史相似性,同时我们也注意到,学生在向“一类量”的字母意义的跨越方面存在很大的认知障碍,这值得引起教学研究人员及教师的重视.另外针对测试结果出现的情况,教学中应做到周密设计,如,强调圆的半径一般用r表示,但同时也应强调字母r并不总是用来表示半径;未知量也可参与运算,其身份是作为待确定的“已知量”等等.综合3道题的测试结果,可以看到,学生对“用字母表示数”的意义认知,对应了历史上“用字母表示数”的字母意义层面的认识演进过程中的发展水平,3种类型各占一定的比例,具有历史相似性.而学生对于字母意义上“一类量”的符号代数思想缺乏足够的认识,认知水平停留在“记数符号”、“未知量”等的认知水平上.学生在朝向符号代数的认知过程中易出现反复及循环,如测试题1的结果.这为研究者从字母意义的历史演进过程出发设计教学提供了可靠的基础和较充分的证据.另外在教学心理的准备上,教师应能充分理解学生在“一类量”等的认知过程中的“缓慢”发展,因为在历史上符号代数的演进过程是如此的漫长,整整跨越了2000年左右的时间!
4.2方程求解问题的结果与分析试题4取自丢番图所解方程问题的原题,该题及其解法是反映历史上符号代数发展历程及人们对字母意义认知演进过程的极好素材.
4.2.1该问题的历史解法①修辞代数解法:文字表达.②缩略代数的解法,以丢番图的解法为代表:设和为100,差为40,较小数为x,则较大数为x+40.这样就有2x+40=100,从而得x=30.因此两数分别为30、70.③符号代数的解法,以韦达的解法为代表:设和为a,差为b.又设较小数为x,则较大数为x+b,于是2x+b=a,故得x=(a–b)/2.因此两数分别为(a–b)/2、(a+b)/2.
4.2.2学生解法与历史解法对照①与“修辞代数解法”对应的学生解法:使用“修辞代数”方法解决此题的有11人,占总数的21.2%.考虑到学生已经接触过“缩略代数”的思想——用字母表示未知量,研究者认为这一数字所占比重并不算小.②与“丢番图解法”对应的学生解法:将这类解法归为“丢番图解法”.虽然学生此类解法较之于“丢番图解法”有某种程度的进步,这是因为学生已经接触过解方程的相关知识,但在字母使用水平上,他们用x,y表示未知量,建立方程求解问题,属于“缩略代数”的解决方案.③与“韦达解法”对应的学生解法:使用“一类量”思想,用符号代数的思想解决问题的人数为6人,占总人数的13.5%.但考虑到学生还没有系统学习符号代数的做法与思想,能使用这种做法解决问题,这部分学生已经相较班内其他学生的认知水平有了较大的前进与提升.这也给教师以信心:经过精心设计的、系统的教学与训练,学生是能够理解符号代数思想的.
4.2.3各种方法使用情况统计从以上学生对该方程的解法与历史上各个阶段典型解法的对比,可以看到学生对字母表示数的认知发展水平,与该知识的历史发展阶段呈现较为明显的相似性.测试结果可使教师在设计教学时对学生可能出现的情况做到事先“心中有数”,并能针对各种不同的做法给出合理的解释与引导.同时,为使学生更快、更好地理解、运用符号代数的思想解决问题,借鉴符号代数的历史发展进程设计教学应是一条可行的、有效的途径.
5结论与启示
5.1基本结论通过上面对学生测试结果的分析,可得出以下结论:(1)为数不少的学生对“用字母表示数”仍停留在“修辞代数”和“缩略代数”阶段;对字母意义的认知水平多数停留在“记数符号”及“未知量”的层次,只有少部分学生理解并能用“一类量”思想解决问题;(2)学生对于符号代数的“一类量”思想存在认知困难;(3)学生对“用字母表示数”的认知发展过程和“字母表示数”意义演进的历史发展过程之间存在一定的相似性.因此,借鉴字母意义的历史演进过程设计教学,将史料及其蕴含的思想、方法等重构后应用于课堂教学,将能够有效解决学生学习过程中存在的问题与障碍.
5.2教学启示以相似性分析为基础,借鉴历史对于教学而言至少有两方面作用.首先,可有效预测学生学习中可能会出现的问题、障碍与疑惑;其次,依据知识形成过程设计教学符合学生的认知发展规律.波利亚(GPolya)认为,“在教一门科学分支(理论、概念)时,我们应该让儿童重演人类心理演进的重大步骤.”[14]弗赖登塔尔(HFreudenthal)则说:“从某种意义上说,儿童应该重蹈历史,尽管不是实际发生的历史,而是倘若我们的祖先已经知道我们今天有幸知道的东西,将会发生的历史.”[15]以上教育家和数学家所言进一步证实历史于教学之重大意义.无疑,这对教材编写和课堂教学都有一定的启示.
5.2.1对教学内容的启示如何借鉴历史?对教学内容来讲,包括素材与思想,在使用上分别对应显性与隐性两种方式[16].显性方式是在教材编写及教学实施过程中,直接展示概念的历史发展过程及其典型问题等,如丢番图方程问题等设计教学.隐性方式则提供了教学的设计思想.通过历史相似性分析,研究者发现学生的认知发展如同知识的历史形成一样,并非直线推进,其间可能要经历在水平上的“前进与倒退交织,总体向前推进”的过程.这为螺旋设置教学内容,关注学生认知发展过程的螺旋上升提供了借鉴.如,在“用字母表示数”的教学内容中增加“修辞代数”、“缩略代数”与“符号代数”3个阶段中两个连续环节之间的衔接过渡,增加在字母意义水平上前后衔接的内容,以利于学生对新知的接纳与衔接理解.
5.2.2对教学顺序的启示借鉴历史顺序.相似性分析可以指明借鉴历史顺序的路径,包括两个方面:历史顺序指导教学顺序;从当前的概念组成中看历史演变.斯宾塞(HerbertSpencer)认为“对孩子的教育在方式和顺序上都必须符合历史上人类的教育,换言之,个体知识的发生必遵循人类知识的发生过程.”[17]德摩根(ADeMorgan)强调数学教学中的历史次序,认为教师在教代数时,不应该一下子把新符号都解释给学生,而应该让学生按历史顺序去学习符号.可以看到,符号代数的发展经历3个重要阶段,与此同时字母意义也从低到高逐步发展形成.从现今教材来看,对“字母表示数”内容的呈现,基本上遵从了该内容的历史形成过程,以历史顺序呈现.但从微观来看,对字母意义演进的水平层次设计不够,这是使得学生对字母意义认知不够明确、深入、到位的主要原因.
5.2.3对教学要求的启示从古到今,人们对新事物的理解、接受都需要一个过程,过程的长短则主要取决于事物的复杂程度以及人们的认知水平.从学生认知过程与历史发展过程相似性的结果可以得出:符号代数中“用字母表示数”经历了2000年左右的漫长历史过程,经过一代代数学家艰苦卓绝的探索、完善,适得以今天的面貌呈现于世人面前,学生只靠课堂上短短的几节课又如何能够轻松跨越如此辽远的历史长河?因此,学生短时间内容不能很好地理解、掌握是正常的的教学行为与结果!诚如M?克莱因对美国的“新数运动”的批判:从古代埃及人和巴比伦人开始直到韦达和笛卡儿以前,没有一个数学家能意识到字母可用来代表一类数,但现在却通过简单的集合思想马上产生了集合这个概念[18].因此,教育工作者除了在教学内容、设计思想等方面做好精心准备外,对待学生对知识掌握的时间问题要做到有耐心地“静待花开”。
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