培养学生的数学思维品质的点滴认识
数学的性质决定了数学教学既要以学生思维的深刻性为基础,又要培养学生的思维深刻性。数学思维的深刻性品质的差异集中体现了学生数学能力的差异,教学中培养学生数学思维的深刻性,实际上就是培养学生的数学能力。数学教学中应当教育学生学会透过现象看本质,学会全面地思考问题,养成追根究底的习惯。
对于那些容易混淆的概念,如正数与非负数、锐角和第一象限的角、充分条件和必要条件等等,可以引导学生通过辨别对比,认清概念之间的联系与区别,在同化概念的同时,使新旧概念分化,从而深刻理解数学概念。通过变式教学揭示并使学生理解数学概念、方法的本质与核心。在解题教学中,引导学生认真审题,发现隐蔽关系,优化解题过程,寻找最佳解法等等。
如案例:亓宁同学在解完“梯形ABCD中,点E是腰AB上一点,在腰CD上求作一点F,使CF:FD = BE:EA”之后提出:“老师,如果E点在底边上,如何在另一底上找到F,我有一种方法,不知对否?
作法:1. 连结AC; 2. 作EO // DC交AC于O; 3. 作OF // AB交BC于F。 AE:ED = BF:FC。 ” 同时,另一位学生提出同样的问题,写道:“如果,在梯形ABCD中,点E是底边上一点,那么在另一底边找一点F,使AE:ED = BF:FC,应怎样找?” 两位学生对同一个题目,提出了相同的问题,前者解决了问题,但不能用准确的数学语言表述问题,后者虽没有找到解决问题的方法,但能准确的描述问题,两位学生都良好的运用了直觉思维,这本身就是一种创新思维,我及时公布了两位的猜想,并鼓励他们的这种主动猜想的创新精神,公布之后,同学们反映强烈,并进行了广泛的讨论,并且在讨论中思维更加深刻,问题得到引伸,方法也出现了多种。一位学生对在讨论中提出的新方法给出了证明,他写道:“今天小凡说,已知梯形 ABCD,E是底边的一点,延长腰交于F,连结EA交AB与G就是昨天亓宁要找的点。我觉得它说的是对的;证明如下:……(证明略)” 我也即时公布了这位学生提供的小乔的发现和他的证明,并说,小凡能想到这种方法,是他对解过的题目作了深刻的反思,从而对做过的题目有深刻的映象,自然很容易想到这种方法,因此,同学们应向他学习,解题以后不要停止,一定要多作反思。
接下来的几天中,都有同学围绕着这个问题继续思考,并且有的同学还将此问题作了进一步引伸,如任静在反思中写道:“任意多边形,知道一边上一点,就可以由亓宁那种方法,在其它任一边上找到一点,使与分得的线段的比等于这点分得的这边上的两条线段的`比,只要先把多边形变成三角形后就行。
对吗?”我指导道:“你已推广了亓宁提出的命题,很好,且你是对的,请试一试能不能给出证明”。鼓励学生结合解题提出问题,既能充分发挥学生的主体性,又能形成师生互动、生生互动的教学情境,还能培养学生的不断探索的精神,从而使学生的创新意识得到保护和培养。这无疑对学生“心态的开放,主体的凸现,个性的张显”是十分有益的。
数学思维的敏捷性,主要反映了正确前提下的速度问题。因此,数学教学中,一方面可以考虑训练学生的运算速度,另一方面要尽量使学生掌握数学概念、原理的本质,提高所掌握的数学知识的抽象程度。因为所掌握的知识越本质、抽象程度越高,其适应的范围就越广泛,检索的速度也就越快。
另外,运算速度不仅仅是对数学知识理解程度的差异,而且还有运算习惯以及思维概括能力的差异。因此,数学教学中,应当时刻向学生提出速度方面的要求,另外还要使学生掌握速算的要领。例如,每次上课时都可以选择一些数学习题,让学生计时演算;结合教学内容教给学生一定的速算要领和方法;常用的数字,如20以内自然数的平方数、10以内自然数的立方数、特殊角的三角函数值、无理数 、 、π、都要做到“一口清”;常用的数学公式如平方和、平方差、一元二次方程、二次函数的有关公式、各种面积、体积公式等等,都要做到应用自如。实际上,速算要领的掌握和熟记一些数据、公式等,在思维活动中是一个概括的过程,同时也训练了学生的数学技能,而数学技能的泛化就成为能力。
如案例:解完“AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆的直径,求证:AB?AC = AE?AD”后,引导学生对题目本质特征进行回顾,发现此题的圆可以不画出来,因为任意三角形都有外接圆,其处接圆的直径则是客观存在的。直径的位置不一定要画在如图的位置,只要有三角形外接圆的直径出现,就应该有上述结论。通过对题目本质的领悟,再用自己的语言对习题进行概述就得到了“任三角形的两边、第三边上的高,和它外接圆直径四个量中任知其中三个,就可以求得第四个”,“三角形外接圆的直径等于任意两边的积除以第三边上的高”通过反思,由于学生已形成了求任意三角形外接圆直径的一种特殊方法性的知识组块,所以在一次公开课上,老师口述完“已知三角形两边分别是3、6,第三边上的高为2,求三角形外接圆的直径”时,学生就能脱口说出正确答案是“9”。促进了知识的正向迁移,培养了思维的每捷性。
数学思维品质的培养与数学知识学习不是对立的,而是相辅相成的。我们的数学思维品质的养成应以数学知识技能为载体,和日常的数学教学活动结合起来。只要我们教师创造性地教,就能唤起学生创造性地学,教与学就能碰撞出创造的火花,我们的学生就能萌发创新意识,就会富有创新能力,更懂得数学的学习,更能体会到学数学之“美妙”。我们的教育就能培养出21世纪所需要的创新人才;我们的课改之路定会一帆风顺!
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